Wie kan dit oplossen?

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
MDB
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 19 nov 2022, 12:02

Wie kan dit oplossen?

Bericht door MDB » 07 nov 2023, 20:12

Jos heeft een eindig aantal houten planken van exact 90 centimeter lang. Hij kan hiermee 2 dingen doen:

ˆ Een stuk plank van eender welke lengte kan in 2 perfect gelijke delen gezaagd worden.
ˆ Twee planken van eender welke lengte kunnen met hun uiteindes aan elkaar gelijmd worden (zonder te overlappen dus).
Jos zou graag een plank maken van exact 30 centimeter lang. Uiteraard kan hij slechts een eindig aantal
keer zagen en lijmen. Is dat mogelijk? Geef een bewijs.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wie kan dit oplossen?

Bericht door arie » 08 nov 2023, 10:44

Je begint met houten planken met lengte \(a = \frac{a}{2^0}\) (a = 90 cm)

Bewijs dat de lengte van elk resultaat van (1) je verzagingen en (2) je plakkingen te schrijven is in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor c en n natuurlijke getallen.

Daarna wil je dat
\(\frac{c\cdot a}{2^n} = \frac{a}{3}\)
ofwel:
\(3\cdot c \cdot a = 2^n \cdot a\)
ofwel (\(a \neq 0):\)
\(3\cdot c = 2^n \)

Bestaan er een c en n waarvoor dit mogelijk is?

MDB
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 9
Lid geworden op: 19 nov 2022, 12:02

Re: Wie kan dit oplossen?

Bericht door MDB » 09 nov 2023, 19:56

Ik denk het niet.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3907
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wie kan dit oplossen?

Bericht door arie » 10 nov 2023, 08:52

Klopt: het linker lid = 3c is deelbaar door 3, het rechter lid = \(2^n\) is niet deelbaar door 3, beide kunnen dus nooit gelijk zijn aan elkaar.

En het eerste deel van het bewijs:

(1) Verzaging van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) levert 2 planken met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^{n+1}}\)

(2) Plakken van een plank met lengte \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) aan een plank met lengte \(\frac{d\cdot a}{2^m}\) levert een plank met lengte
\(\frac{c\cdot a}{2^n} + \frac{d\cdot a}{2^m} = \frac{2^m \cdot c\cdot a}{2^{n+m}} + \frac{2^n \cdot d\cdot a}{2^{n+m}}=\frac{(2^m \cdot c + 2^n \cdot d)\cdot a}{2^{n+m}}\)

Dus wat je ook (een eindig aantal keren) doet, de lengte van elke plank is altijd uit te drukken in de vorm \(\frac{c\cdot a}{2^n}\) voor constanten c en n.

Plaats reactie