Grabbelbak met gekleurde balletjes
Grabbelbak met gekleurde balletjes
Je hebt een bak met 6 verschillend gekleurde balletjes. Je doet 5 keer een blinde trekking uit de bak en schrijft de kleur op van het balletje die je getrokken hebt. Het balletje leg je na de trekking weer terug in de bak. Hoe groot is de kans dat je precies 4 verschillende kleuren hebt opgeschreven?
Re: Grabbelbak met gekleurde balletjes
deze kans = (het aantal trekkingen van 4 verschillende kleuren) / (het aantal mogelijke trekkingen).
(1)
Het aantal mogelijke trekkingen = 6^5, dit zal je al gevonden hebben.
(2)
Dan het aantal trekkingen van 4 verschillende kleuren:
dit betekent dat er precies 1 kleur dubbel getrokken wordt.
- hoeveel kleuren zijn er die we dubbel kunnen trekken
- op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde kleuren verdelen over de 5 trekkingen?
- op hoeveel manieren kunnen we dan de 3 overgebleven trekkingen invullen (hoeveel ballen kunnen we trekken op de eerste open plaats, hoeveel op de 2e en hoeveel op de 3e)?
Het product hiervan levert het antwoord.
Je kunt dit probeem ook zien als: je hebt de cijfers 1 t/m 6, hoeveel getallen van 5 cijfers kan je hiermee maken als deze getallen uit precies 4 verschillende cijfers moeten bestaan?
- op hoeveel manieren kunnen we het cijfer kiezen dat dubbel voorkomt?
- op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde cijfers plaatsen in het getal van 5 cijfers?
- hoeveel mogelijkheden hebben we om de overgebleven plaatsen in te vullen?
(1)
Het aantal mogelijke trekkingen = 6^5, dit zal je al gevonden hebben.
(2)
Dan het aantal trekkingen van 4 verschillende kleuren:
dit betekent dat er precies 1 kleur dubbel getrokken wordt.
- hoeveel kleuren zijn er die we dubbel kunnen trekken
- op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde kleuren verdelen over de 5 trekkingen?
- op hoeveel manieren kunnen we dan de 3 overgebleven trekkingen invullen (hoeveel ballen kunnen we trekken op de eerste open plaats, hoeveel op de 2e en hoeveel op de 3e)?
Het product hiervan levert het antwoord.
Je kunt dit probeem ook zien als: je hebt de cijfers 1 t/m 6, hoeveel getallen van 5 cijfers kan je hiermee maken als deze getallen uit precies 4 verschillende cijfers moeten bestaan?
- op hoeveel manieren kunnen we het cijfer kiezen dat dubbel voorkomt?
- op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde cijfers plaatsen in het getal van 5 cijfers?
- hoeveel mogelijkheden hebben we om de overgebleven plaatsen in te vullen?
Re: Grabbelbak met gekleurde balletjes
Inderdaad dat geeft de juiste oplossing voor dit specifieke probleem. Maar hoe zou je het oplossen voor een generiek probleem?
Je hebt een bak met 'X' verschillend gekleurde balletjes. Je doet 'Y' keer een blinde trekking uit de bak en schrijft de kleur op van het balletje die je getrokken hebt. Het balletje leg je na de trekking weer terug in de bak. Hoe groot is de kans dat je precies 'Z' verschillende kleuren hebt opgeschreven?
Je gebruikt namelijk de regel "op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde kleuren verdelen over de 5 trekkingen"
Maar stel dat aantal blinde trekkingen (Y) = 8 en dat het aantal opgeschreven kleuren (Z) = 4. Je kunt dan namelijk niet meer spreken van één kleur die continu dubbel wordt geteld zoals de oplossing '12344444' maar oplossingen zoals '12333444' gelden dan ook.
Het probleem ligt 'm er dan in dat deze mogelijke permutaties uitstraling hebben op de volgende regel "op hoeveel manieren kunnen we dan de N overgebleven trekkingen invullen" en kun je niet meer makkelijk spreken van "het product hiervan levert het antwoord"
Het is natuurlijk mogelijk om al deze mogelijke situaties hiervan 'handmatig' langs te gaan om zo alsnog tot het antwoord te komen, maar dat verslaat een beetje het doel van combinatoriek/statistiek. Is er een berekening vindbaar die geld voor alle natuurlijke waarden X,Y,Z groter dan 0 (waarbij geld dat Z <= X en Z <= Y) zonder dat er gebruikt wordt gemaakt van recursie?
Een voorbeeld van een oplossing waarbij recursie is gebruikt:
Enig hulp met dit probleem zal zeker gewaardeerd worden
Je hebt een bak met 'X' verschillend gekleurde balletjes. Je doet 'Y' keer een blinde trekking uit de bak en schrijft de kleur op van het balletje die je getrokken hebt. Het balletje leg je na de trekking weer terug in de bak. Hoe groot is de kans dat je precies 'Z' verschillende kleuren hebt opgeschreven?
Je gebruikt namelijk de regel "op hoeveel manieren kunnen we die twee dezelfde kleuren verdelen over de 5 trekkingen"
Maar stel dat aantal blinde trekkingen (Y) = 8 en dat het aantal opgeschreven kleuren (Z) = 4. Je kunt dan namelijk niet meer spreken van één kleur die continu dubbel wordt geteld zoals de oplossing '12344444' maar oplossingen zoals '12333444' gelden dan ook.
Het probleem ligt 'm er dan in dat deze mogelijke permutaties uitstraling hebben op de volgende regel "op hoeveel manieren kunnen we dan de N overgebleven trekkingen invullen" en kun je niet meer makkelijk spreken van "het product hiervan levert het antwoord"
Het is natuurlijk mogelijk om al deze mogelijke situaties hiervan 'handmatig' langs te gaan om zo alsnog tot het antwoord te komen, maar dat verslaat een beetje het doel van combinatoriek/statistiek. Is er een berekening vindbaar die geld voor alle natuurlijke waarden X,Y,Z groter dan 0 (waarbij geld dat Z <= X en Z <= Y) zonder dat er gebruikt wordt gemaakt van recursie?
Een voorbeeld van een oplossing waarbij recursie is gebruikt:
Enig hulp met dit probleem zal zeker gewaardeerd worden
Re: Grabbelbak met gekleurde balletjes
Dit wordt wat ingewikkelder.
Neem een algemene vorm van mijn tweede voorbeeld (met de cijfers):
x = totaal aantal kleuren = totaal aantal cijfers = totaal aantal symbolen
y = aantal trekkingen = lengte van het getal = lengte van de rij symbolen
z = aantal gevonden kleuren = aantal gebruikte cijfers = aantal gebruikte symbolen
Splits het probleem in twee delen:
(1)
het aantal mogelijke combinaties van z gebruikte symbolen uit x beschikbare symbolen = xCz
(2)
bereken het aantal rijtjes van lengte y dat we met deze z symbolen kunnen maken, waarbij elk symbool ten minste 1 keer voorkomt.
Gebruik hiervoor per symbool de formele machtreeks
NOOT: de x is hier een variabele van de machtreeks, dus een andere x dan in onderdeel (1)!
voor alle z symbolen wordt dit:
^z)
werk deze machtreeks uit en je vindt het gezochte aantal mogelijkheden als coefficient van de term
Het eindantwoord is dan weer het product van hetgeen je vindt onder (1) en (2)
Voorbeeld: neem je oorspronkelijke probleem: x=6, y=5, z=4:
(1)
er zijn 6C4 = 15 mogelijkheden om 4 kleuren te trekken
(2)
De machtreeks wordt:
^4)
* \frac{x^k}{k!} \right))
De coefficient van k = y = 5 is:
 = 1024 - 972 + 192 - 4 = 240)
De einduitkomst is dus:
15 * 240 = 3600, wat we al eerder gevonden hadden.
In het algemeen kan je het gevraagde aantal mogelijkheden berekenen via:
^y*(-1)^i \right))
(en de gevraagde kans is dit getal gedeeld door x^y)
Formele machtreeksen zijn een krachtig hulpmiddel in de combinatoriek, meer info vind je bijvoorbeeld op
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
PS: het zou kunnen dat je de tweede factor van het antwoord (= de sommatie) nog directer kunt uitrekenen, dit laat ik verder aan jou of een ander forumlid over om te onderzoeken.
Neem een algemene vorm van mijn tweede voorbeeld (met de cijfers):
x = totaal aantal kleuren = totaal aantal cijfers = totaal aantal symbolen
y = aantal trekkingen = lengte van het getal = lengte van de rij symbolen
z = aantal gevonden kleuren = aantal gebruikte cijfers = aantal gebruikte symbolen
Splits het probleem in twee delen:
(1)
het aantal mogelijke combinaties van z gebruikte symbolen uit x beschikbare symbolen = xCz
(2)
bereken het aantal rijtjes van lengte y dat we met deze z symbolen kunnen maken, waarbij elk symbool ten minste 1 keer voorkomt.
Gebruik hiervoor per symbool de formele machtreeks
NOOT: de x is hier een variabele van de machtreeks, dus een andere x dan in onderdeel (1)!
voor alle z symbolen wordt dit:
werk deze machtreeks uit en je vindt het gezochte aantal mogelijkheden als coefficient van de term
Het eindantwoord is dan weer het product van hetgeen je vindt onder (1) en (2)
Voorbeeld: neem je oorspronkelijke probleem: x=6, y=5, z=4:
(1)
er zijn 6C4 = 15 mogelijkheden om 4 kleuren te trekken
(2)
De machtreeks wordt:
De coefficient van k = y = 5 is:
De einduitkomst is dus:
15 * 240 = 3600, wat we al eerder gevonden hadden.
In het algemeen kan je het gevraagde aantal mogelijkheden berekenen via:
(en de gevraagde kans is dit getal gedeeld door x^y)
Formele machtreeksen zijn een krachtig hulpmiddel in de combinatoriek, meer info vind je bijvoorbeeld op
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
PS: het zou kunnen dat je de tweede factor van het antwoord (= de sommatie) nog directer kunt uitrekenen, dit laat ik verder aan jou of een ander forumlid over om te onderzoeken.
Re: Grabbelbak met gekleurde balletjes
Wow, nice! Dit gaat nog boven mijn eigen kunde, maar ik zal me zeker verder verdiepen in machtenreeksen.
echt bedankt!
echt bedankt!