Pagina 1 van 1
Voortbrenger/generator van een groep
Geplaatst: 08 apr 2015, 22:35
door Ilona
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Geplaatst: 09 apr 2015, 14:45
door SafeX
Ga eerst eens na wat de elementen van deze groep zijn ...
Opm: Het is duidelijk dat met a een restklasse (mod 13) wordt bedoeld, het lijkt me verder niet nodig om dit met een 'bovenstreep' aan te geven
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Geplaatst: 11 apr 2015, 15:17
door Ilona
Hi
Ik zie nu dat ik een fout heb gemaakt in dit stuk:
Ilona schreef:
Zij N = {
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
met
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\bar{b})
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})
}
en
Ilona schreef:
Leg uit waarom een ondergroep H van G met
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
uit 1 of 3 elementen bestaat.[/i]
Het moet zijn: N = {
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
met
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\bar{b})
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})
}
en
Heel stom, want dan schiet ik niets op met deze vraag hier. Maar, ik heb even gepuzzeld en dit is mijn conclusie (ik heb alle bovenstreepjes weggelaten, teveel typewerk en inderdaad, uit modulo is het duidelijk):
Ik heb bedacht dat als a=1, dan moet b=0 want anders zou de doorsnede met N gelijk zijn aan N. Dus je gaat uit van b=0. Dus
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix})
is een ondergroep (en gelijk de identiteit)
Als a=3 dan moet het product ook er in zitten, want anders is het geen ondergroep en het product is de matrix
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} 9&0 \\ 0&1 \end{pmatrix})
. Maar het product van
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} 9&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix})
en dus moeten ze er alle 3 in zitten en heeft de ondergroep dus 3 elementen. Er zijn dus 2 van deze ondergroepen.
Klopt dit?
Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.
Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Geplaatst: 11 apr 2015, 15:59
door SafeX
Het eerste klopt ...
Ilona schreef:Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.
Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.
Wat bedoel je met N ...
Bedenk dat een ondergroep altijd e moet bevatten! Verder is een ondergroep een groep met dezelfde operatie
Blijft de vraag welke elementen bevat G ...
Re: Voortbrenger/generator van een groep
Geplaatst: 11 apr 2015, 19:21
door Ilona
G = {
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
met
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\bar{a})
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\{\bar{1},\bar{3},\bar{9}\})
en
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\bar{b})
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})
} van
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?GL_2(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}))
, de inverteerbare 2x2-matrices met coƫfficienten modulo 13.
N = {
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
met
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\bar{b})
in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})
}
vraag b) is dus alle H (ondergroepen van G) bepalen waarvoor geldt dat
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix})
.
Ik kwam uit op 14 ondergroepen:
{e} en
voor alle b in modulo 13. Die bevatten allemaal e, hun inverse en zijn gesloten onder dezelfde operatie.
Vraag c) is: Bepaal nu alle ondergroepen van G. (Hint: als H een ondergroep is, wat kan
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?H \cap N)
dan zijn?)
Dus alle ondergroepen van G zijn sowieso die genoemd bij vraag b)
daarnaast is N een ondergroep van G en daarnaast is G een ondergroep van zichzelf. Dat lijken me dan alle mogelijke ondergroepen.