Groepen
Groepen
Zij G een eindige verzameling, met daarop een associatieve bewerking gedefinieerd. We zeggen dat alle elementen van G regulier zijn. Een element is regulier als en slechts als: en
1) Bewijs dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
2) Bewijs dat
1) Bewijs dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
2) Bewijs dat
Re: Groepen
Je noteert een opgave, maar wat is je vraag ...
Re: Groepen
1) en 2) zijn mijn vraag
Re: Groepen
[1]
G is eindig, stel het aantal elementen van G = |G| = n.
Verder is gegeven: alle elementen van G zijn regulier, ofwel:
ofwel (logische omkering):
Dus voor alle n verschillende elementen b van G geldt
dus moeten er ook n verschillende producten
bestaan.
Kan je hiermee het bewijs voltooien?
[2]
Analoog aan [1] bewijs je dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
Kijk nu naar
Gebruik de 2 gegeven eigenschappen (G associatief en regulier) om het bewijs te voltooien.
NOOT: Als je het heel volledig zou willen doen kan je ook nog bewijzen dat voor
geldt dat
G is eindig, stel het aantal elementen van G = |G| = n.
Verder is gegeven: alle elementen van G zijn regulier, ofwel:
ofwel (logische omkering):
Dus voor alle n verschillende elementen b van G geldt
dus moeten er ook n verschillende producten
bestaan.
Kan je hiermee het bewijs voltooien?
[2]
Analoog aan [1] bewijs je dat er een bestaat voor waarvoor geldt:
Kijk nu naar
Gebruik de 2 gegeven eigenschappen (G associatief en regulier) om het bewijs te voltooien.
NOOT: Als je het heel volledig zou willen doen kan je ook nog bewijzen dat voor
geldt dat
Re: Groepen
1) Mijn eerste gedacht zou zijn:
Omdat er n verschillende producten zijn, betekent dit vanwege de inwendigheid dat alle n producten gelijk zijn aan een verschillend element element van G (en dit zijn er net n). Dus want en stel
2) dit volgt zeer gemakkelijk doordat
Omdat er n verschillende producten zijn, betekent dit vanwege de inwendigheid dat alle n producten gelijk zijn aan een verschillend element element van G (en dit zijn er net n). Dus want en stel
2) dit volgt zeer gemakkelijk doordat
Re: Groepen
OK.
Kan je vanuit hetgeen gegeven ook nog aantonen dat voor e1 en e2 in:
en
volgt dat
Kan je vanuit hetgeen gegeven ook nog aantonen dat voor e1 en e2 in:
en
volgt dat
Re: Groepen
Door associativiteit:
dan regulariteit:
dan regulariteit:
Re: Groepen
Maar ik zit wel nog met een vraag: bij 1) heb ik gebruik gemaakt van de inwendigheid, maar er is gegeven dat G een verzameling is (en niet een groep). Kan ik dan wel gebruik maken van de inwendigheid, want de samenstelling van 2 elementen uit dezelfde verzameling zit toch niet per se opnieuw in die verzameling?
Re: Groepen
Zie bijvoorbeeld http://www.maths.manchester.ac.uk/~rs/A ... tesNew.pdf
(pagina 1, bovenaan):
"A binary operation ∗ on a non-empty set S is a rule that assigns to each ordered pair of elements of S a uniquely determined element of S."
Ofwel: een bewerking over een eindige verzameling G is een functie
Ofwel: G is gesloten (= inwendig) onder
Als je een andere definitie gekregen hebt, zet deze dan s.v.p. even hier neer.
We zullen het bewijs dan moeten herzien.
(pagina 1, bovenaan):
"A binary operation ∗ on a non-empty set S is a rule that assigns to each ordered pair of elements of S a uniquely determined element of S."
Ofwel: een bewerking over een eindige verzameling G is een functie
Ofwel: G is gesloten (= inwendig) onder
Als je een andere definitie gekregen hebt, zet deze dan s.v.p. even hier neer.
We zullen het bewijs dan moeten herzien.
Re: Groepen
Neen, dit is letterlijk de vraag zoals ze op het oefeningenblad staat. Er zijn wel nog 3 andere deelvragen die volgen na de 2 die ik hier heb gepost. 3) Bewijs dat wat natuurlijk volgt uit de associativiteit en regulariteit:
2) Bewijs dat een groep is: associativiteit en inwendigheid zijn al meegegeven door de binaire bewerking, neutraal element hebben we zonet alles bewezen, nl. , dus enkel nog bewijzen dat : analoog zoals bij 1), doordat , kunnen we opnieuw gebruik maken van de uniciteit van de producten en de eindigheid van G om te stellen dat er met elk element in G, een invers element correspondeert.
3) Is nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
2) Bewijs dat een groep is: associativiteit en inwendigheid zijn al meegegeven door de binaire bewerking, neutraal element hebben we zonet alles bewezen, nl. , dus enkel nog bewijzen dat : analoog zoals bij 1), doordat , kunnen we opnieuw gebruik maken van de uniciteit van de producten en de eindigheid van G om te stellen dat er met elk element in G, een invers element correspondeert.
3) Is nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
Re: Groepen
Onbeslist: mogelijk wel, mogelijk niet.Jenbos schreef:3) Is nog steeds een groep als G oneindig is? Neen, dan kunnen we bovenstaande redenering niet meer maken
We hebben in dit geval dus gegeven met:
- G een ONeindige verzameling
- op G een associatieve bewerking
- alle elementen van G zijn regulier
Kijk eens naar
, alle gehele getallen met bewerking optellen
en
, alle positieve gehele getallen met bewerking optellen
Voldoen deze aan de 3 gegeven eigenschappen?
Zijn het groepen?
Re: Groepen
De eerste is wel een groep, de tweede niet