Wiskundeforum

Goedendag,

Zou iemand mij kunnen helpen bij het maken van de volgende berekening?

ik heb een ellips met een breedte van 10 en een hoogte van 5, deze zit vast in een rechthoek met een breedte van 7,5
onder welke hoek bevind de ellips zich? ik zelf kom er niet uit (onderstaande link is de situatie uitgeschetst). en welke formule's zou heb je hier voor gebruikt?

dank alvast

Laurens

Je afbeelding is niet zichtbaar. Probeer eens of uploaden wel lukt door de volgende link te raadplegen: https://www.wiskundeforum.nl/viewtopic.php?f=15&t=5039
Je weet in ieder geval dat a = 5 en b = 2½, waarbij a de halve lange as en b de halve korte as van de ellips is. Laat p de lengte en q = 7½ de breedte van de gegeven rechthoek zijn en veronderstel dat de lange as van de ellips een hoek α met de rechthoekszijde met lengte p maakt, waarbij het punt dat helemaal links op de lange as van de ellips ligt samenvalt met het linksonder liggende hoekpunt van de rechthoek. Kijk nu eens of je voor p en q een uitdrukking in a, a en b kunt vinden.

Arno alsnog de foto,

ik kom er nog niet helemaal uit maar ben aan het puzzelen....

Nog wat uitgebreidere hints:

De vergelijking voor een halve ellips is:

\(\text{E}: y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\)

waarbij in jouw situatie: a=5 en b=2.5.

De afgeleide van deze functie is:

\(\text{E}'(x) = \frac{-b\cdot x}{a\sqrt{a^2 - x^2}}\)

In elk punt R = (rx, ry) op de halve ellips kan je nu de formule van de raaklijn l aan deze halve ellips opstellen (blauw in bovenstaande figuur).
Merk op: dit is de lijn door de lange zijde van je rechthoek.

Gegeven een rx, bepaal dan eerst ry (uitgedrukt in rx).
Vervolgens ligt l ook vast, in de vorm:

\(\text{l}: y = A\cdot x + B\)

Bepaal A en B (ook uitgedrukt in rx).

De vergelijking van de loodlijn m (rood in bovenstaande figuur), door de oorsprong, loodrecht op l, volgt direct hieruit:

\(\text{m}: y = \frac{-1}{A}\cdot x\)

Definieer S = (sx, sy) := het snijpunt van lijn l en lijn m.

Neem \(d = |OS| = \sqrt{sx^2+sy^2}\)

Bovenstaande constanten zijn allemaal uitsluitend afhankelijk van de gekozen rx.
We kunnen nu de rx bepalen, zodanig dat d gelijk is aan (breedte rechthoek) / 2 = 7.50 / 2 = 3.75.

De richtingscoëfficiënt van m = tan(\(\gamma\)) = -1/A, dus

\(\gamma = \text{atan} \left( \frac{-1}{A} \right)\)

en dit is gelijk aan de hoek H die je zoekt.


Tot hoe ver kom je hiermee?


EDIT:



Ik kom met bovenstaande gegevens (a=5.0, b=2.5, d=3.75) uit op:

\(\gamma = \text{atan} \sqrt{\frac{a^2-d^2}{d^2-b^2}} = 49.79703411343023072221926...\) graden,

\(y_{max} = \sqrt{a^2 \sin^2 \gamma + b^2 \cos^2 \gamma} = 4.1457809879442498113936659...\)

Dus de ellips staat onder een hoek van
\(\gamma = 49.79703411343023072221926...\) graden met de horizontale lijn,
en de rechthoek heeft
- een breedte van \(7.5\)
- een hoogte van \(2\cdot y_{max} = 8.2915619758884996227873318...\)

Dankjewel hierdoor heb ik het kunnen uitrekenen

Nu zitten ik met het volgende vraagstuk.



In dit vraagstuk is er een hoogte gegeven en moet berekend worden wat het raakpunt is op de ellips.

Bedankt alvast

Laurens

Neem een assenstelsel met de oorsprong in het middelpunt van je ellips.
In dit geval is:
- de (halve lange as) = a = 10
- de (halve korte as) = b = 5

Noem P = het punt op hoogte H = 33.25 boven de onderkant van de ellips.
In het assenstelsel heeft P dan de coördinaten (0, H-b) = (0, 28.25) = (0, h)
(dus kleine h = H - b)
De raaklijn aan de ellips door punt P = (0, h) en punt S = (xs, ys) op de ellips wordt dan gegeven door:

\(y = \frac{-b\cdot x_s}{a\cdot \sqrt{a^2 - x_s^2}}\cdot x + h\)

Punt S = (xs, ys) ligt op deze lijn, dat levert:

\(y_s = \frac{-b\cdot x_s}{a\cdot \sqrt{a^2 - x_s^2}}\cdot x_s + h\)

en omdat S niet alleen op deze lijn maar ook op de ellips ligt, geldt tevens:

\(y_s = \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_s^2}\)

zodat

\(\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_s^2} = \frac{-b\cdot x_s}{a\cdot \sqrt{a^2 - x_s^2}}\cdot x_s + h\)

Hieruit kan je xs oplossen.
Ik kom uit op:

\(x_s = a\cdot \sqrt{1-\frac{b^2}{h^2}}\)

waarmee ys ook vastligt (gebruik 1 van bovenstaande formules).

Definieer nu het punt Q = (0, ys), dan vinden we hoek alfa = hoek SPQ via:

\(\alpha = \text{atan}\frac{QS}{PQ} = \text{atan}\frac{x_s}{h - y_s}\)

Tenslotte is de hoek RPS dan 2 keer deze hoek (= \(2\alpha\))


Jouw voorbeeld:

\(a = 10\)
\(b = 5\)
\(H = 33.25\)
geeft:
\(h = 28.25\)
\(x_s = 9.842124...\)
\(y_s = 0.884955...\)
\(\alpha = 19.781652...^\circ\)
\(2\alpha = 39.563304...^\circ\)

Dag Arie,

Hoe kom je van naar ?













ik kom niet verder…

De x, rx en sx in de vorige berichten zijn alle verschillend, evenzo y, ry en sy.
x en y zijn variabelen, (rx, ry) de coördinaten van R, en (sx, sy) de coördinaten van S.
Hieronder gebruik ik \(R = (x_r, y_r)\) en \(S = (x_s, y_s)\)

De halve ellips wordt gegeven door:

\(E: y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} \)

de afgeleide daarvan is:

\(E'(x) = \frac{-b\cdot x}{a\sqrt{a^2-x^2}} \)


De raaklijn L door R is

\(l: \;y = A\cdot x + B\)

waarbij A = de afgeleide in \(x_r\):

\(A = \frac{-b\cdot x_r}{a\sqrt{a^2-x_r^2}} \)

en omdat R op L ligt moet ook gelden:

\(y_r = A\cdot x_r + B\)

ofwel:

\(B = y_r - A\cdot x_r = \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_r^2} - \frac{-b\cdot x_r}{a\sqrt{a^2-x_r^2}} \cdot x_r\)

\(= \frac{b(a^2-x_r^2)}{a\sqrt{a^2-x_r^2}} + \frac{b\cdot x_r}{a\sqrt{a^2-x_r^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2-x_r^2}}\)

We hebben nu A en B, uitsluitend afhankelijk van a, b en \(x_r\)


De lijn m hadden we al:

\(m: \; y = \frac{-1}{A}\cdot x\)

Punt S is het snijpunt van L en m, dus op dat punt geldt:

\(A\cdot x_s + B =\frac{-1}{A}\cdot x_s\)

ofwel

\(x_s = \frac{-B}{A+\frac{1}{A}} = \frac{-AB}{A^2+1}\)

waardoor

\(y_s = \frac{-1}{A}\cdot x_s = \frac{B}{A^2+1}\)


Voor d = |OS| geldt nu:

\(d = \sqrt{x_s^2 + y_s^2} = \sqrt{\left(\frac{-AB}{A^2+1}\right)^2+\left(\frac{B}{A^2+1}\right)^2}=\frac{B}{\sqrt{A^2+1}}\)

en als we daar de resultaten van hierboven voor A en B invullen:

\(d =\frac{\frac{ab}{\sqrt{a^2-x_r^2}}}{\sqrt{\left(\frac{-b\cdot x_r}{a\sqrt{a^2-x_r^2}} \right)^2+1}} = \frac{\frac{ab}{\sqrt{a^2-x_r^2}}}{\sqrt{\frac{b^2\cdot x_r^2}{a^2(a^2-x_r^2)} +1}} = \frac{\frac{a^2b}{\sqrt{a^2-x_r^2}}}{\sqrt{\frac{b^2\cdot x_r^2}{a^2-x_r^2} + a^2}}= \frac{a^2b}{\sqrt{b^2\cdot x_r^2 + a^2(a^2 - x_r^2)}} = \frac{a^2b}{\sqrt{a^4+(b^2-a^2)\cdot x_r^2}}\)


Hiermee kunnen we ook \(x_r\) uitdrukken in a, b en d:

\(d^2 (a^4+(b^2-a^2)\cdot x_r^2) = a^4b^2 \)

ofwel

\(d^2(b^2-a^2)\cdot x_r^2 = a^4b^2 - d^2a^4 \)

ofwel

\(x_r = \frac{a^2}{d} \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} \)

Dit is \(x_r\) als functie van uitsluitend a, b en d.


Tenslotte kunnen we de richtingscoëfficiënt van lijn m (= \(\tan(\gamma))\) uitdrukken in a, b en d (waarvan de waarden gegeven zijn):

\(\tan(\gamma) = \frac{-1}{A} = \frac{a\sqrt{a^2-x_r^2}}{b\cdot x_r}\)

\(=\frac{a\sqrt{a^2-\frac{a^4}{d^2} \frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} }{b\cdot \frac{a^2}{d} \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} } =\frac{a^2\sqrt{d^2- \frac{ a^2(b^2 - d^2)}{b^2-a^2}} }{b\cdot a^2 \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} }=\frac{\sqrt{\frac{d^2(b^2-a^2)}{b^2-a^2}- \frac{ a^2(b^2 - d^2)}{b^2-a^2}} }{b \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} }=\frac{\sqrt{\frac{d^2b^2-d^2a^2-a^2b^2+a^2d^2}{b^2-a^2}} }{b \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} }\)

\(= \frac{\sqrt{\frac{d^2b^2-a^2b^2}{b^2-a^2}} }{b \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} } = \frac{b\sqrt{\frac{d^2-a^2}{b^2-a^2}} }{b \sqrt{\frac{ b^2 - d^2}{b^2-a^2}} } = \sqrt{\frac{a^2-d^2}{d^2-b^2}}\)

dus

\(\gamma = \text{atan} \sqrt{\frac{a^2-d^2}{d^2-b^2}}\)

\(d=\frac{B}{\sqrt{A^2+1}}\) & \(A=\frac{-bx_r}{a\sqrt{a^2-x_r^2} }\) & \(B=\frac{ab}{\sqrt{a^2-x_r^2}}\) geven \(x_r=\frac{a^2}{d}\sqrt{\frac{b^2-d^2}{b^2-a^2}}\)

\(x_r=\frac{a^2}{d}\sqrt{\frac{b^2-d^2}{b^2-a^2}}\) & \(y_r=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_r^2}\) geven \(d_r=\sqrt{x_r^2+y_r^2}\)
Is deze laatste variant eenvoudiger te krijgen, zodat \(d_r=f(a,b,d)\)?

ben al tijdje aan het rommelen, maar komt niet veel verder dan

\(d_r = \sqrt{x_r^2 + y_r^2}\)

\(=\sqrt{x_r^2 + \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x_r^2)}\)

\(=\frac{1}{a}\sqrt{a^2x_r^2 + b^2(a^2 - x_r^2)}\)

\(=\frac{1}{a}\sqrt{a^2x_r^2 - b^2x_r^2 + a^2b^2}\)

\(=\frac{1}{a}\sqrt{(a^2 - b^2)x_r^2 + a^2b^2}\)

\(=\frac{1}{a}\sqrt{(a^2 - b^2)\frac{a^4}{d^2} \frac{(d^2-b^2)}{(a^2-b^2)} + a^2b^2}\)

\(=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a^4}{d^2} (d^2-b^2) + a^2b^2}\)

\(=\sqrt{\frac{a^2}{d^2} (d^2-b^2) + b^2}\)

\(=\sqrt{a^2 - \frac{a^2b^2}{d^2}+ b^2}\)

\(=\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{a^2b^2}{d^2}}\)

arie bedankt!