Wiskundeforum

Ik wil een salontafel maken in de vorm van een asymmetrische en afgeronde driehoek (fantasievorm); zie bijlage. De 3 hoekpunten zijn cirkels met 3 verschillende diameters. Alle 3 de zijden zijn cirkelbogen die raken aan de 2 (verschillende) cirkels op de hoekpunten. Deze bogen kunnen variëren van nauwelijks bol (boog met grote diameter) of heel erg bol zijn (boog met kleine diameter). Mijn vragen zijn: waar ligt de lijn waarop het middelpunt van die bogen liggen en waar vind ik het raakpunt van die boog op de cirkels van de 2 hoekpunten?

Hierboven een plaatje van de 3 hoekpunten = cirkels met middelpunten A, B en C en straal resp. \(r_A\), \(r_B\) en \(r_C\)
Cirkelboog PQ raakt de hoekcirkels A en C in de punten P resp. Q.

We zoeken de rode cirkel met (nog onbekend) middelpunt M en een gegeven straal \(R = PM = QM\), waar de boog PQ op ligt.

Omdat cirkel M cirkel A raakt (in punt P), liggen P, A en M op één lijn.
Voor de afstand \(d_{AM}\) van A tot M geldt daarom
\(d_{AM} = PM - r_A = R - r_A\).
Punt M ligt daarom op de blauwe cirkel met middelpunt A en straal \(d_{AM}\)

Evenzo voor M en C:
Omdat cirkel M cirkel C raakt (in punt Q), liggen Q, C en M op één lijn.
Voor de afstand \(d_{CM}\) van C tot M geldt daarom
\(d_{CM} = QM - r_C = R - r_C\).
Punt M ligt daarom op de blauwe cirkel met middelpunt C en straal \(d_{CM}\)

Punt M ligt daarom op één van de twee snijpunten van deze 2 blauwe cirkels (het zal duidelijk zijn welk van de 2 snijpunten je voor je tafel moet kiezen).
Raakpunt P vind je door de lijn door M en A te snijden met cirkel A,
Raakpunt Q door de lijn door M en C te snijden met cirkel C.


Bedoel je dit?

Fantastisch Arie, dit helpt me enorm! Ook mooi om te zien hoe 'simpel' en gericht je mijn vragen hebt beantwoord. Hartelijk bedankt hiervoor!