Complexe vergelijking(en) oplossen

[KFS]

Hallo,

momenteel zit ik met 2 grote vergelijkingen en 2 onbekende. Dit moet op te lossen zijn. Echter krijg ik een negatief getal onder mijn wortel en betwijfel ik of ik het goed doe.

Het onderwerp: Een rechthoekige beton doorsnede belast met een normaalkracht (N) en buigend moment (M).

De vergelijkingen zijn

en


De enige onbekende hierin zijn epsilon_L en epsilon_R

b=breedte doorsnede (mm)
h=hoogte doorsnede (mm)
epsilon_L=rek linkerzijde (-)
epsilon_R=rek rechterzijde (-)
Ec=Elasticiteitmodulus beton (N/mm²)
Es=Elasticiteitsmodulus staal(N/mm²)
alpha=vorm factor voor beton, omdat het spanningsfiguur géén rechthoek is. als 0 > epsilon_L > -0,00175 dan is alpha altijd 0,5. (-)
Beta=vorm factor voor beton, omdat het spanningsfiguur géén rechthoek is. als 0 > epsilon_L > -0,00175 dan is beta altijd 1/3. (-)
Asi=oppervlakte van één wapeningsstaaf (mm²)
xsi=afstand rand beton tot hart staaf (gemeten over hoogte h) (mm)
N=Normaalkracht (N)
M=Buigendmoment (Nmm)

De formule voor Normaalkracht is het "makkelijkste" oplossen. Om het in wolframalpha op te lossen heb ik de grootheden wel vervangen door 1 letter,
b=B
h=H
epsilon_L=C
epsilon_R=D
Ec=E
Es=F
alpha=A
Asi=W
xsi=Z
N=N

Ook heb ik het sommatie teken weggehaald.... Mag dat? Deze voeg ik later zelf toe om het deel voor Asi*xsi weer goed te hebben.

De uitkomst voor D (epsilon_R)
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... %3DN+for+D
Note: dit is de makkelijkste formule, dus als voorbeeld gebruikt hieronder.

De uitkomst voor C (epsilon_L)
https://www.wolframalpha.com/input?i=so ... %3DN+for+C

Nu het probleem:
De waarden waar ik mee begin zijn:
b=200
h=608
epsilon_L=-0,00175 (om de formule voor epsilon_R als voorbeeld te gebruiken) = C
Ec=10.000
Es=210.000
alpha=0,5
Asi=314 (staaf diameter 20mm)
xsi=4 staven met x=50 en 4 staven met x=558
N=-500

Onder het wortelteken staat nu (zie oplossingen van wolframalpha)

alle waarden zijn positief en omdat er staat -4*... EN E en F de elasticiteitsmodulus zijn (=hoge waarden) wordt het antwoord onder het wortelteken altijd negatief.... en hier loop ik vast.

Misschien ben ik een verkeerd pad ingeslagen om dit op te lossen
Misschien is de vergelijking niet op te lossen zonder toepassing van complexe getallen (en dat gaat mij echt te ver in mijn huidige kennis)
Of zie ik iets anders over het hoofd?

anders software dan Excel en Wolframalpha heb ik niet om mij te ondersteunen.

Wie kan mij hiermee (verder) helpen?

Groet,
KFS.

[arie]

Bedoel je hier

\(b*h*\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*L*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

of

\(\frac{b*h*epsilon_L}{(epsilon_L-epsilon_R)*Ec*L*alpha}+\sum_i\left(\frac{As_i*Es*xs_i}{h*(epsilon_L-epsilon_R)}\right)=N\)

of nog iets anders?

Wellicht kan je duidelijkheid geven door wat extra haakjes te plaatsen.

Hetzelfde hiervoor.
En is het ook echt de bedoeling dat in deze formule
\(*h*epsilon_L/(epsilon_L-epsilon_R)\)
twee keer is opgenomen?

[KFS]

\(b*h*\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*L*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

Dit is de juiste. In de andere formule komt inderdaad 2 keer h*εL/(εL-εR) voor. Je kan dus ook een kwadraat toevoegen

Beide formules lijken op elkaar. Voor de beeldvorming:

Het gaat om een rechthoekige betondoorsnede met wapening links en rechts.
Er is sprake van een uitwendige normaalkracht (N) en buigend moment (M).
Je moet krachtenevenwicht bereiken. Dus de uitwendige krachten zijn gelijk aan de inwendige krachten.

Je begint dus met
Ninw=Nuitw
Minw=Muitw

Waarin Minw=Ninw*z

Z is hierin de inwendige hefboomsarm. In dit geval gemeten vanaf de linkerzijde van de doorsnede

Ninw=A*sigma
A=Oppervlakte doorsnede. Dus het oppervlakte van het staal (As) of het oppervlakte van het beton druk oppervlakte (Ac)
Sigma=de spanning

Let op: Beton kan geen trekspanning opnemen.

Nu is de truc dat je links een rek hebt en rechts een rek hebt. rek=epsilon=ε
En sigma=spanning=E*ε

Voor de wapening blijft de berekening makkelijk. Je weet waar de wapening in de doorsnede zit. en mbv gelijkvormigheid van driehoeken kan je de optredende rek tpv de wapening bepalen. De E (elasticiteitsmodules) van staal weet je.

rek staal=εs=(xs/h)*εtot
εtot=verschil tussen de rek links en rek rechts
xs=positie wapening tov linker zijde
εs=rek staal
Dit moet je dus per staaf doen. Daarom staat hier een sommatie teken.

Voor het beton is het wat complexer.
De beton drukzone hoogte noemt men "xu" De linkerzijde van de doorsnede heeft altijd druk. Dus waar de doorsnede een rek aan 0 heeft stopt deze. Dit kan je dus ook met gelijkvormigheid oplossen. De waarde van xu=h*εL/(εL-εR)

De Normaalkracht in het beton is dan gelijk aan:
N=xu*sigma*b*alpha
alpha=vormfactor aangezien de betondrukzone geen rechthoek is. Indien εL< -0,00175 dan is het drukspanning een driehoek.
Het moment is gelijk aan
M=N*z
met
z=zwaartepunt van xu=beta*xu
Beta hierin is de vormfactor.

Zoals je nu wellicht al merkt komt in de formule voor het Moment 2x de term voor xu voor. 1 keer voor de normaalkracht en 1 keer voor het zwaartepunt.

Ik leg het nu in tekst uit en ga er snel doorheen. De 1e 2 formules kloppen.
Als er behoefte aan is kan ik een schets toevoegen van de situaties. Maar zal wat ruis geven voor de werkelijke vraag: 2 formules -> 2 onbekende

[arie]

\(b*h*\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*L*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

\(b*h^2*\frac{epsilon_L^2}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}*Ec*L*alpha*Beta+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=M\)

Herschrijf deze als dit stelsel van 2 vergelijkingen:

\(A*\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}+ B*(epsilon_L-epsilon_R)=N\)

\(C*\frac{epsilon_L^2}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}+D*(epsilon_L-epsilon_R)=M\)

Waarbij A, B, C en D bekend zijn:

\(A=b*h*Ec*L*alpha\)
\(B=\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}\right)=\frac{Es}{h}\sum_i(As_i*xs_i)\)

\(C=b*h^2*Ec*L*alpha*Beta\)
\(D=\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}\right)=\frac{Es}{h}*\sum_i(As_i*xs_i^2)\)

Noem vervolgens:

\(x = \frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}\)

\(y = epsilon_L\)

Dan kunnen we bovenstaand stelsel herschrijven als

(1) \(A*x+ B*\frac{y}{x}=N\)

(2) \(C*x^2+D*\frac{y}{x}=M\)

Uit vergelijking (1) volgt:

(3) \(y = \frac{(N-A*x)*x}{B}\)

Vul dit in in vergelijking (2) (de laatste factor x in de teller valt weg tegen de x in de noemer):

\(C*x^2+D*\frac{N-A*x}{B}=M\)

ofwel

\(BC*x^2+D*(N-A*x)=BM\)

ofwel

(4) \(BC*x^2-AD*x +DN-BM=0\)

los hieruit x op via de abc-formule, waarna we ook y (= epsilonL) weten (formule (3)):

(3) \(y = \frac{(N-A*x)*x}{B}\)

Tenslotte volgt uit

\(x = \frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R} = \frac{y}{y-epsilon_R}\)

(5) \(epsilon_R = y - \frac{y}{x}\)



Voorbeeld:

Kies A=3, B=4, C=5, D=6, epsilonL=0.6, epsilonR=0.4, dan is
\(N=3\cdot \frac{0.6}{0.6-0.4}+4\cdot(0.6-0.4) = 9.8\)
\(M=5\cdot \left(\frac{0.6}{0.6-0.4}\right)^2+6\cdot(0.6-0.4) = 46.2\)

Nu omgekeerd:
vanuit A=3, B=4, C=5, D=6, N=9.8 en M=46.2 willen we epsilonL en epsilonR bepalen:

Vergelijking (4) geeft:
\(20x^2-18x-126=0\)
waardoor (abc-formule):
\(x_1=-2.1\)
\(x_2=3\)
De bijbehorende y-waarden zijn dan via (3):
\(y_1 = -8.4525\)
\(y_2 = 0.6\)
Voor de positieve y = epsilonL = 0.6 geeft dit via (5):
\(epsilon_R=y_2-\frac{y_2}{x_2} = 0.4\)
(zoals verwacht)

[KFS]

Arie,

Sorry voor de late reactie.
Je hebt wel mijn ogen geopend voor de aanpak: Alle constante zien als 1 variabelen. Dat maakt het een stuk overzichtelijker.

Ik heb nu net wel een fout gezien in mijn formule. Het symbool "ε" werd niet geaccepteerd in de formule notatie.

De "L" die erin staat moet dus zijn epsilonL. Hierdoor is de functie van A onjuist.

\(b*h*\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*epsilon_L*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

\(b*h^2*\frac{epsilon_L^2}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}*Ec*epsilon_L*alpha*Beta+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=M\)

Dit wordt dan:

\(b*h*\frac{epsilon_L^2}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

\(b*h^2*\frac{epsilon_L^3}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}*Ec*alpha*Beta+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=M\)

Inmiddels heb ik ook de functievoorschriften van Alpha en Beta goed. Indien de rek (indrukking) van het beton over de ε=0,00175 gaat zal het beton zich plastisch gedragen: wel vervorming, geen spannings toename

\(1-\frac{epsilon_c}{|epsilon_L|}/2=alpha\)
\(1+\frac{(epsilon_c/|epsilon_L|)^2-3}{6*alpha}=beta\)

Epsilon_C is de vloeigrens van beton (materiaaleigenschap) en gewoonlijk de 0,00175 waar ik het eerder over had. Deze waarde is dus constant.

Ik ga puzzelen of ik bij een alpha=0,5 en beta=1/3 de formules goed krijg....
Weet jij ook hoe je de formules met de functie voorschriften voor alpha en beta oplost?
Uiteindelijk hoop ik dat te kunnen gebruiken om ook een ronde constructie uit te rekenen. (b is dan ook nog variabel en alpha en beta krijgen dan ook een andere formule, of gaan helemaal niet meer op)

[arie]

\(1-\frac{epsilon_c}{|epsilon_L|}/2=alpha\)
\(1+\frac{(epsilon_c/|epsilon_L|)^2-3}{6*alpha}=beta\)
Weet jij ook hoe je de formules met de functie voorschriften voor alpha en beta oplost?

Zijn \(epsilon_c\) en \(epsilon_L\) bekend, dan kan je met de eerste formule \(alpha\) bepalen en vervolgens met de tweede formule \(beta\)

Als \(alpha\) bekend is kan je daarmee de breuk \(\frac{epsilon_c}{|epsilon_L|}\) bepalen, maar niet de twee individuele epsilon's

Dit wordt dan:

\(b*h*\frac{epsilon_L^2}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N\)

\(b*h^2*\frac{epsilon_L^3}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}*Ec*alpha*Beta+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=M\)

Definieer weer
\(x=\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}\)
en
\(y = epsilon_L\)

Herschrijf de vergelijkingen weer door de bekende constanten samen te voegen:

\(Axy + B\frac{y}{x} = N\)
\(Cx^2y + D\frac{y}{x} = M\)

Uit de eerste volgt:
\(y = \frac{N}{Ax + \frac{B}{x}}\)
en uit de tweede:
\(y = \frac{M}{Cx^2 + \frac{D}{x}}\)

Gelijkstelling van deze twee en uitschrijven voor x levertL

\(CNx^3-AMx^2+DN-BM = 0\)

We zitten nu met een derdegraadsvergelijking, maar die kunnen we heel goed numeriek oplossen.

Met de gevonden x los je y op (vergelijking y = .... hierboven) waarmee je \(epsilon_L\) weet.

En met x en \(epsilon_L\) is ook \(epsilon_R\) bekend.

Voorbeeld:
Met A=3, B=4, C=5, D=6, N=6.2 en M=28.2 krijgen we:
\(31x^3 - 84.6x^2 -75.6 = 0\)
Oplossen met bijvoorbeeld WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=31 ... 75.6+%3D+0
geeft: x=3 (de 2 complexe oplossingen kunnen we niet gebruiken),
waardoor
\(epsilon_L = y = \frac{N}{Ax + \frac{B}{x}}= \frac{6.2}{3\cdot 3 + \frac{4}{3}} = 0.6\)
en via
\(x=\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}\)
krijgen we
\(epsilon_R=\frac{epsilon_L\cdot (x-1)}{x}= \frac{0.6\cdot (3-1)}{3}=0.4\)

[KFS]

Ik snap wat je doet.

let wel
Epsilon_C is altijd bekend
Episilon_L is onbekend
Epsilon_R is onbekend
Is het met deze informatie dan nog wel op te lossen?

Ik snap ook dat de formules niet de makkelijkste worden. Wel had ik gehoopt 1 formule te krijgen die ik in Excel kon invoeren. Nu moet wolfram er tussen zitten omdat je blijkbaar toch met complexe getallen moet werken.

In de praktijk zijn deze berekeningen ook iteratief of gaan m.b.v. Eindige Elementen Methode (EEM).

Wellicht kan ik dit ook oplossen door een aanname te doen voor Epsilon_L en dan Epsilon_R te variëren om zo bij het juiste antwoord te komen. Dus ik sla deze weg in. Mocht je nog een advies hebben, dan hoor ik dit graag!

[arie]

Samenvattend:

Het stelsel:

\(\left\{ \begin{array}{l} b*h*\frac{epsilon_L^2}{epsilon_L-epsilon_R}*Ec*alpha+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=N &\\ b*h^2*\frac{epsilon_L^3}{(epsilon_L-epsilon_R)^2}*Ec*alpha*Beta+\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}*(epsilon_L-epsilon_R)\right)=M \end{array} \right.\)

met:

\(x=\frac{epsilon_L}{epsilon_L-epsilon_R}\)

\(y = epsilon_L \)

herschreven we als:

\(\left\{ \begin{array}{l} Axy + B\frac{y}{x} = N &\\ Cx^2y + D\frac{y}{x} = M\end{array} \right.\)

waarbij in dit geval:

\(A=b*h*Ec*alpha\)
\(B=\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i}{h}\right)=\frac{Es}{h}\sum_i(As_i*xs_i)\)

\(C=b*h^2*Ec*alpha*Beta\)
\(D=\sum_i\left(As_i*Es*\frac{xs_i^2}{h}\right)=\frac{Es}{h}*\sum_i(As_i*xs_i^2)\)

Uit de eerste volgt:
\(y = \frac{N}{Ax + \frac{B}{x}}\)
en uit de tweede:
\(y = \frac{M}{Cx^2 + \frac{D}{x}}\)

Gelijkstelling van deze twee en uitschrijven voor x leverde:

\(CNx^3-AMx^2+DN-BM = 0\)

Die laatste derdegraadsvergelijking is numeriek snel op te lossen: herschrijf:

\(CNx^3-AMx^2+DN-BM = 0\)

als

\(x^3-\frac{AM}{CN}x^2+\frac{DN-BM}{CN} = 0\)

Dit komt neer op het zoeken van de nulpunten van de derdegraads functie

\(f(x) = x^3-\frac{AM}{CN}x^2+\frac{DN-BM}{CN}\)

Als \(x\) van -oneindig naar +oneindig loopt, loopt \(f(x)\) ook van -oneindig naar +oneindig.
Daardoor is er altijd een nulpunt te vinden, bijvoorbeeld met de solve-functie die in veel programma-pakketten beschikbaar is.
En als je 1 oplossing hebt kan je die uit de vergelijking delen om de twee andere oplossingen te vinden,

Als beide epsilons de rek van je systeem voorstellen, dan verwacht ik dat je de complexe oplossingen niet nodig hebt en daar verder niets mee hoeft te doen.
Zijn er 3 reele oplossingen, dan moet je nagaan welke daarvan de juiste is/zijn.

[KFS]

Dankjewel! Ik ga er nog even verder mee puzzelen:)