Hallo allemaal,
Allereerst, wellicht dat dit wiskundig probleem al eens opgelost is elders op het forum, maar omdat ik totaal geen idee heb hoe ik daarnaar moet zoeken, met name omdat ik niet weet welke termen ik daarvoor moet gebruiken, neem ik de moeite om het hieruit te schrijven.
Vandaag op het werk (bouwbedrijf) werd mij gevraagd om van een kiepbak te bepalen hoe hoog deze volgeladen mag worden met puin, zodat er niet meer dan 1m3 puin in zit. Aan de hand van deze hoogte-maat kunnen we een bordje plaatsen in de kiepbak, zodat de medewerkers de kiepbak niet te vol laden. Mocht je niet weten wat een kiepbak is, zoek op google-afbeeldingen het woord 'kiepbak', dan begrijp je meteen waar het om gaat.
Voor de goede orde, ik ben voldoende vaardig om met behulp van autocad met voldoende nauwkeurigheid te bepalen hoe hoog het bordje moet komen te hangen, echter ik werd uitgedaagd door mijn collega om dit te berekenen i.p.v. te tekenen. Voor degene die het niet interessant vindt waarom, skip naar de volgende alinea. Mijn werkgever vroeg een van mijn collega's om er een bordje in te hangen, waarna gevraagd werd hoe hoog deze moest komen te hangen. Werkgever gaf aan, ‘dat kun je zelf even uitrekenen’. Na de poging om dat te doen, kwam mijn collega erachter dat dit niet zo simpel blijkt te zijn. Hij kwam met zijn rekenmachine uit op 650mm, maar dat was een ruwe inschatting en deze hoogte is ook niet correct. Door dit voorval werd ik dus uitgedaagd om dat te berekenen, niet te tekenen, omdat mijn werkgever dat ook zo opdroeg aan mijn collega.
De juiste hoogte weet ik dus al (753,077527mm), maar ik kan het dus niet verkroppen dat ik er niet uitkom hoe ik dit op eenvoudigere wijze kan berekenen, met name omdat het er zo ogenschijnlijk simpel uit ziet, het is immers niet meer dan een driehoek en een vierkant waarvan ik vanuit een gewenst oppervlakte, de hoogte wil berekenen. Dit topic is dus voor de sport.
Ik trap af:
In bijgevoegde excel zitten 2 plaatjes van de kiepbak en 3 tabellen. Ik loods jullie door mijn werkwijze heen.
Eerst heb ik bepaald wat de inhoud van de gehele kiepbak is:
Breedte (1.500mm) x oppervlakte zijvlak, bestaande uit een vierkant van 400x970mm (388.000mm2) en een driehoek 1.250x970mm (606.250mm2) = 1.500x(388.000+606.250) = 1.491.375.000mm3 / 1.000.000.000 = 1,491m3.
Ik wil dus weten hoe hoog ik ‘m mag vullen waarbij ik de 1m3 niet overschrijd.
Ik weet dat de bak 1500mm breed is. Als ik terug ga tellen naar wat een gewenst zij-oppervlak betreft, dan kom ik uit op 1.000.000.000 / 1.500 = 666.666mm2.
Tot zover het gemakkelijke deel.
Mijn benadering voor het bepalen bij welke hoogte, hoeveel oppervlak ik heb, is als volgt.
Ik bepaal hoeveel oppervlak ik heb bij 10mm.
Vervolgens bij 20mm.
In Excel is het dan gemakkelijk om een formule uit te zetten in meerdere cellen, waarin ik enkel en alleen de hoogte hoef te veranderen om tot het juiste aantal te komen.
Na de berekening steeds opnieuw gedaan te hebben met verschillende hoogten, na steeds dichterbij de juiste oppervlakte te komen, kom je uiteindelijk bij de juiste hoogte.
Voor jullie beeldvorming heb ik de weg daarnaartoe onder elkaar gezet in de bovenste tabel (tabel 1).
Je zou zeggen, daar heb je je antwoord. Maar ik wil dus weten hoe ik dat omgekeerd kan berekenen.
Dus wetende dat ik op een oppervlakte van 666.666mm2 uit wil komen, hoe kom ik dan achter de juiste hoogte?
In ‘tabel 2’ heb ik geprobeerd om een verband te herkennen tussen de steeds groter wordende hoogte, zodat er een formule voor geschreven kan worden.
Daarbij merk ik het volgende op:
Ik heb een vaste waarde die per 10mm vermenigvuldigd mag worden, in deze situatie is dat 3935,56361366245mm2.
Ook merk ik een exponentiële waarde, namelijk voor elke 10mm hoogte die erbij komt, komt er cumulatief 128,872772675104mm2 bij.
In ‘tabel 3’ heb ik er een formule voor geprobeerd te schrijven, en mijn conclusie is dat deze als volgt is (vergeef me als ik de verkeerde termen of tekens gebruik):
Oppervlakte zijvlak = (Hoogte in cm x Vaste waarde) + (Cumulatieve waarde x (Hoogte in cm x (Hoogte in cm + 1)) / 2)
Dus 10mm hoog is = (1 x 3935,563614) + (128,872772675104 x (1 x (1+1)) /2) = 4064,436386mm2.
20mm hoog is = (2 x 3935,563614) + (128,872772675104 * (2 * (2 + 1)) / 2) = 8257,745545mm2.
Enzovoort.
Als ik dat extrapoleer naar het juiste getal, kom ik op de juiste oppervlakte in mm2.
Maar dat is niet de weg die ik wil bewandelen, ik wil het dus omdraaien.
Hoe reken ik vanuit een gewenst oppervlakte in mm2 (zijnde 666.666) terug naar de juiste hoogte in mm of cm?
Ps. Ik heb het al met ChatGPT geprobeerd, maar daar kom ik niet verder mee.
Voor de personen die de moeite hebben genomen om dit te lezen en zichzelf voldoende vaardig achten om hiervoor een oplossing uit te schrijven, zeer veel respect! Voor de personen die de moeite hebben genomen om dit te lezen en zichzelf voldoende vaardig achten om hiervoor een oplossing uit te schrijven en ook werkelijk een oplossing plaatsen in de reacties, bij voorbaat zeer veel dank!
excelbestand kon ik helaas niet uploaden, zodoende hier google-spreadsheet:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/ ... =468555416
inhoud kiepbak
Re: inhoud kiepbak
Hierboven je kiepbak met:
- hoogte H = 970
- breedte W = 1500
- totale lengte T = 1650
- lengte boven rechte bodem R = 400
- lengte boven schuine bodem S = T-R = 1250
gevuld met puin tot hoogte h.
Het puinvolume van het blauwe deel (= de blauwe balk) =
Het puinvolume van het donkergele deel (= de gele prisma) =
Wegens gelijkvormigheid van driehoeken ABC en ADE is:
ofwel:
dus
Vul dit resultaat in in de formule voor V2:
Het totale puinvolume
en dit moet gelijk zijn aan 10^9:
ofwel:
Dit is een tweedegraadsvergelijking in h (in de vorm ah² + bh + c = 0) die je met de abc-formule kan oplossen:
In ons geval geeft dit:
vermenigvuldig teller en noemer met H:
deel teller en noemer door W:
of algemener met V = gewenste puinvolume:
Omdat de hoogte niet negatief kan zijn, vervalt hieruit de oplossing met het min-teken voor de wortel, en houden we over:
met jouw getallen:
H=970
W=1500
R=400
S=1250
V=10^9
kom ik uit op h = 753.091808462419
Jouw antwoord heeft een heel kleine afwijking (ongeveer 14.28 micrometer).
Dat komt omdat jij met de benadering
terwijl de exacte waarde van die constante 1250/970 is (= 1.2886597938...).
Maar zo precies zal je markering waarschijnlijk niet geplaatst hoeven te worden.
Met de nauwkeurigheid in millimeters lijkt het me wel verstandig om in bovenstaande berekening de binnenmaten van de kiepbak te gebruiken.