Afstand tussen punten

Anuki · Bericht door **Anuki** » 20 mar 2012, 14:13

Gegeven een willekeurig punt met coördinaten $(x, y)$ . Vervolgens verschuif ik dit punt door een straal r te kiezen en een hoek $\theta$ die afkomstig is uit een uniforme verdeling over het interval $\left [ 0 \right 2\pi]$ .

Mijn vraag is nu of het mogelijk is om wanneer ik tweemaal op willekeurige wijze een hoek kies, het mogelijk is om de verwachte afstand tussen beide resulterende nieuwe punten te bepalen. Ik was er zelfs reeds als volgt aan begonnen.

punt 1: $\left ( x + r\cos \theta _{1} \right, y + r\sin \theta_{1} )$
punt 2: $\left ( x + r\cos \theta _{2} \right, y + r\sin \theta_{2} )$

dan is d(punt 1, punt2) gelijk aan

$\sqrt{\left (x + r\cos \theta_{1} - x - r\cos \theta_{2}} \right ) ^{2} + \left (y + r\cos \theta_{1} - y - r\cos \theta_{2} \right )^{2}$

$\sqrt{\left (r(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2}} \right )) ^{2} + \left (r(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2} \right ))^{2}$

$r\sqrt{\cos^{2}\theta_{1} - 2\cos\theta_{1}\theta_{2} + \cos^{2}\theta_{2} + \sin^{2}\theta_{1} - 2\sin\theta_{1}\theta_{2} + \sin^{2}\theta_{2}}$

$r\sqrt{2 - 2\cos\theta_{1}\cos\theta_{2} - 2\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}}$

$r\sqrt{2(1-\cos(\theta_{1} - \theta_{2})}$

Ik denk dat de volgende stappen er uit bestaan om theta_1 en theta_2 als toevalsvariabelen uit de uniforme verdeling te zien, en dan gewoon de verwachte waarden te nemen van de laatste regel. Ik denk dat als ik weet wat de verwachte waarde is van het verschil tussen twee uniform verdeelde toevalsvariabelen, ik dit gewoon kan invullen bij de hoek voor de cosinus en dit zou dan het resultaat moeten leveren, maar ik weet niet hoe ik dit moet doen.

Alvast bedankt voor jullie hulp!

Groetjes

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 20 mar 2012, 15:01

Een aantal dingen die je kan opmerken.

- Ten eerste doet de waarde van (x,y) er al niet toe, zoals je al merkt.
- Ten tweede doet eigenlijk maar een van de twee hoeken er toe.

Bericht door **wnvl** » 20 mar 2012, 19:54

Anuki schreef:Ik denk dat als ik weet wat de verwachte waarde is van het verschil tussen twee uniform verdeelde toevalsvariabelen, ik dit gewoon kan invullen bij de hoek voor de cosinus en dit zou dan het resultaat moeten leveren, maar ik weet niet hoe ik dit moet doen.

Nee , dit klopt niet.

$E[f(\theta_1-\theta_2)] \neq f(E[\theta_1-\theta_2])$

Zoals Sjoerd eigenlijk al aangaf kan je bovendien $\theta_1$ gelijk aan nul stellen omdat alleen het verschil tussen beide hoeken relevant is.

Anuki · Bericht door **Anuki** » 22 mar 2012, 08:45

Bedoel je dat ik eigenlijk een hoek $\theta_{3} = \theta_{1} - \theta_{2}$ definieer?

Maar dan weet ik nog steeds niet hoe het verder moet. Als ik het goed heb is de verwachte waarde van het verschil tussen twee toevalsvariabelen uit dezelfde verdeling gelijk aan nul:

$E[\theta_{1}-\theta_{2}] = 0$

maar is dit niet de verwachte waarde waar ik naar op zoek ben, aangezien er nog een functie toegepast wordt op het verschil tussen beide toevalsvariabelen, dus ben ik op zoek naar

$E\left [ r\sqrt{2\left ( 1-\cos \theta_{3} \right )} \right ]$ ,

waarbij $\theta_{3}$ een toevalsvariabele is bepaald door het verschil tussen de twee toevalsvariabelen $\theta_{1}$ en $\theta_{2}$

Bericht door **wnvl** » 22 mar 2012, 20:54

Wat je nodig hebt is de pdf (waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie) van $\theta_3$

$pdf(\theta_3)=\frac{1}{2\pi}$ met $0 \leq \theta_3 \leq 2\pi$

Bericht door **wnvl** » 22 mar 2012, 20:56

De verwachte afstand wordt nu ...

$\int_0^{2\pi}r\sqrt{2(1-\cos(\theta)} \cdot \frac{1}{2\pi} d\theta$

Kan je dit uitrekenen?

Anuki · Bericht door **Anuki** » 23 mar 2012, 08:31

Hey,

Bedankt voor de tip. Ik moet mijn technieken voor integratierekenen nog wel eens snel herhalen maar ik denk dat ik er zo verder wel kom. Ik zet het hier wel op als ik het gevonden heb, en moest het niet lukken dan laat ik ook wel iets weten.

Alvast bedankt!

Wiskundeforum

Afstand tussen punten

Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten

Re: Afstand tussen punten