fietser

Bericht door **wnvl** » 21 jun 2012, 18:56

Ik wil een model opstellen voor een fietser die een parcours aflegt met een profiel h(x). h(x) is de hoogte bij een horizontale afstand x.

In het model wil ik rekening houden met:
-rolweerstand
-luchtweerstand
-zwaartekracht (klimweerstand)

Ik wil mij baseren op volgende gegevens

Wielrenner 80 kg, fiets inbegrepen, die een constant vermogen van 285 Watt ontwikkelt.

Het profiel van het parcours van de tijdrit wordt beschreven door de functie y=h(x) met x gaande van 0 tot L.

Lengte parcours: $\int_0^L \sqrt{1+\left(\frac{dh(x)}{dx}\right)^2} dx$

Rolweerstandsvermogen:
Prol=Crol*G*v
met Crol=rolcoëfficiënt=0,00837
G=gewicht
v=snelheid
Prol=0,00837*80kg*9.81m/s^2*v
Prol=6,568776mkg/s^2*v

Luchtweerstandsvermogen:
Plucht=0.5*rho*S*CL(v+-vwind)^2v
met rho=soortelijke massa van de lucht=1.2kg/m^3
S=frontale oppervlakte S=0.4m^2
CL=luchtweerstandcoëfficiënt (we stellen S*Cd=0.27)
vwind=snelheid wind=0 m/s
Plucht=0.324*v^3

Pklim = (dh/dx) G (dx/dt)
Pklim = (dh/dx) 80 kg * 9.81m/s^2 (dx/dt)
Pklim = (dh/dx) 784,8kgm/s^2* (dx/dt)

Als we alles bij elkaar gooien en de eenheden voor de gemakkelijkheid weglaten kom ik op volgende diff. vgl'en

$285 - 6,568776 \cdot v - 0.324 \cdot v^3 - \frac{dh}{dx} \cdot 784,8 \cdot (dx/dt) = 80 \cdot v \cdot \frac{dv}{dt}$
$v=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dh}{dx}\frac{dx}{dt}\right)^2}$

Graag wil ik de tijd berekenen die de renner nodig heeft om verschillende parcoursen met dezelfde lengte maar verschillend hoogteprofiel af te leggen.

Het gaat om een zeer lastig stelsel van niet lineaire differentiaalvgl'en.

Moet ik dit eerst nog vereenvoudigen? Welke methode gebruik ik best? Heeft iemand van jullie zoiets al opgelost met een wiskundepakket: Matematica / Maple / Matlab / ...? Zo ja, wat is de beste manier om dit aan te pakken?

Tips zijn welkom.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 22 jun 2012, 13:53

Zo op het eerste gezicht zou ik zeggen dat dit (afhankelijk van h) niet altijd algebraisch oplosbaar hoeft te zijn.

Ik zou zeggen: benader het probleem numeriek!

Bericht door **wnvl** » 22 jun 2012, 18:54

Sjoerd Job schreef:Zo op het eerste gezicht zou ik zeggen dat dit (afhankelijk van h) niet altijd algebraisch oplosbaar hoeft te zijn.

Ik zou zeggen: benader het probleem numeriek!

Dat is inderdaad de bedoeling, zelfs voor een simpele h is dit analytisch niet op te lossen lijkt mij.

Probleem is hoe los ik het numeriek op. Ik zie in Matlab niet echt een methode om het op te lossen tenzij ik de tweede vergelijking lineariseer tot

$v=\frac{dx}{dt}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{dh}{dx}\right)^2 \right)$

wat leidt tot onnauwkeurigheden, maar misschien nog acceptabel is. In dat geval kan je in Matlab de ode45 functie gebruiken, wat een Runge Kutta methode is.

Ik wil graag een oplossing voor h(x)

$h(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0.1x & voor & 0<x<1000 \\100-0.01(x-1000) & voor & 1000<x<11000\\0.1(x-11000) & voor & 11000<x<12000\\100-0.01(x-12000) & voor &12000<x<22000\\\end{array}\right.$

Duidelijk waarschijnlijk dat dit 2 steile beklimmingen voorstelt met lange afdalingen.

Heb je misschien weet van/ervaring met een pakket/programma/methode die mijn originele 2 vergelijkingen zou kunnen oplossen zonder dat ik hoef te lineariseren? Ik heb zelf heel weinig ervaring met numerieke methodes om zulke "lastige" differentiaalvergelijkingen op te lossen.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 22 jun 2012, 22:41

wnvl schreef: $h(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0.1x & voor & 0<x<1000 \\100-0.01(x-1000) & voor & 1000<x<11000\\0.1(x-11000) & voor & 11000<x<12000\\100-0.01(x-12000) & voor &12000<x<22000\\\end{array}\right.$

Je kan denken dat deze h(x) heel erg moeilijk is, maar omdat je deze in delen hebt gedefinieerd, kan je de dv ook in verschillende delen oplossen.

Los eerst de diff.ver. van 0 tot 1000 op, dan van 1000 tot 110000, en dan voor 11000 tot 12000, en vervolgens van 12000 tot 22000.

In alle gevallen is dh/dx constant, wat het probleem *denk ik* simpeler maakt, maar het is even geleden dat ik met differentiaal vergelijkingen getruct heb.

Vanwege de fysische achtergrond, vermoed ik dat h(x) geen invloed heeft op dh/dt en dx/dt, maar alleen h'(x) = dh/dx. Omdat je helling telkens constant is, moet je het denk ik wel op kunnen lossen.

Bericht door **wnvl** » 22 jun 2012, 22:58

Ik was verkeerd betreffende dat lineariseren. In deze vorm moet het numeriek op te lossen zijn met een Runge Kutta methode.

$\frac{dx}{dt}=\frac{v}{\sqrt{1+\left(\frac{dh}{dx}\right)^2}}$
$\frac{dv}{dt}=\frac{285 - 6,568776 \cdot v - 0.324 \cdot v^3 - \frac{dh}{dx} \cdot 784,8}{80v}$

Bericht door **wnvl** » 22 jun 2012, 23:19

Sjoerd Job schreef: Vanwege de fysische achtergrond, vermoed ik dat h(x) geen invloed heeft op dh/dt en dx/dt, maar alleen h'(x) = dh/dx. Omdat je helling telkens constant is, moet je het denk ik wel op kunnen lossen.

Toch wel, binnen zekere grenzen geldt dat hoe steiler de klim is, des te groter de stijgingssnelheid van de renner. Op de keutenberg, ga je bvb sneller hoogte winnen dan op een lokale brug over de autostrade. Dus hoe groter dh/dx, des te groter ik dh/dt verwacht. Ik heb in mijn model lucht en rolweerstand meegenomen!

De rest van je redenering klopt, maar een analytische oplossing sluit ik toch uit, zelfs voor een eenvoudige h(x).

Wordt nog een hele uitdaging om dit in Matlab of een ander pakket te krijgen en te laten convergeren naar een oplossing.

Wordt vervolgd...

Bericht door **wnvl** » 23 jun 2012, 21:15

Hier het resultaat van mijn eerste berekeningen. Ik vergelijk een vlak parcours met een parcours met 2 heuvels. Hier het profiel van het heuvelparcours. Twee keer 1km omhoog aan 10% en vervolgens 10km omlaag aan 1%.

Afbeelding

Hier een vgl van snelheid en afgelegde weg voor een renner op het heuvelparcours met een renner op het vlakke parcours voor volgende waarden

Crol=rolcoëfficiënt=0,00837
S*Cd=0.27m^2 (luchtweerstandscoeff * frontaleopp)
gewicht renner=80 kg
vermogen renner=285 Watt

Afbeelding

Het weze duidelijk dat het vlakke parcours sneller is!

Differentiaalvgl'en zijn numeriek opgelost met een Runge Kutta methode.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 25 jun 2012, 06:32

wnvl schreef:
Sjoerd Job schreef: Vanwege de fysische achtergrond, vermoed ik dat h(x) geen invloed heeft op dh/dt en dx/dt, maar alleen h'(x) = dh/dx. Omdat je helling telkens constant is, moet je het denk ik wel op kunnen lossen.
Toch wel, binnen zekere grenzen geldt dat hoe steiler de klim is, des te groter de stijgingssnelheid van de renner. Op de keutenberg, ga je bvb sneller hoogte winnen dan op een lokale brug over de autostrade. Dus hoe groter dh/dx, des te groter ik dh/dt verwacht. Ik heb in mijn model lucht en rolweerstand meegenomen!

Wat ik meer bedoelde te zeggen: als je h(x) vervangt door bijvoorbeeld h(x) + 30, veranderd er niets. Nergens in je formule komt h(x) voor, behalve als h'(x). (het is me dus niet echt gelukt om dat over te brengen, aangezien je dat deels herhaald).

Kan je proberen hetzelfde probleem op te lossen voor
h(x) = 0.1x

dus een constante helling? En bijvoorkeur algebraisch.

Bericht door **wnvl** » 25 jun 2012, 11:23

Sjoerd Job schreef: Wat ik meer bedoelde te zeggen: als je h(x) vervangt door bijvoorbeeld h(x) + 30, veranderd er niets. Nergens in je formule komt h(x) voor, behalve als h'(x). (het is me dus niet echt gelukt om dat over te brengen, aangezien je dat deels herhaald).

Kan je proberen hetzelfde probleem op te lossen voor
h(x) = 0.1x

dus een constante helling? En bijvoorkeur algebraisch.

Nu zie ik het, ik had je vorige post verkeerd geïnterpretteerd

Als h(x) = 0.1x

$\frac{dx}{dt}=\frac{v}{\sqrt{1+\left(0.1)^2}}$
$\frac{dv}{dt}=\frac{285 - 6,568776 \cdot v - 0.324 \cdot v^3 - 78,48}{80v}$

Kan in tegenstelling tot wat ik zei blijkbaar wel algebraïsch opgelost worden, al is het niet eenvoudig.

Maar waarom komt Wolfram hier met een complexe oplossing?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... 3D%3D+1%7D

Bericht door **wnvl** » 25 jun 2012, 11:47

Merk ook op dat de DV een probleem veroorzaakt als je als startwaarde neemt v[0]==0.
Terwijl ik daar fysisch geen enkele verklaring voor zie. We hebben gewoon een fietser die met snelheid 0 vertrekt. In matlab lukte het mij ook niet, ik moet een kleine beginsnelheid moeten nemen.

Wat is de fysische oorzaak? Hoe los ik dit probleem op?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 25 jun 2012, 12:58

wnvl schreef: $\frac{dv}{dt}=\frac{285 - 6,568776 \cdot v - 0.324 \cdot v^3 - 78,48}{80v}$

Deze formule is niet oplosbaar voor v[0] = 0. Daardoor is je systeem dus niet oplosbaar voor v[0] = 0.

Maar, gezien het feit dat je systeem niet oplosbaar is bij v[0] = 0, vermoed ik dat je diff.vgl. fout is. (het fysieke probleem heeft namelijk wel een oplossing).

Bericht door **wnvl** » 25 jun 2012, 13:27

Sjoerd Job schreef: Maar, gezien het feit dat je systeem niet oplosbaar is bij v[0] = 0, vermoed ik dat je diff.vgl. fout is. (het fysieke probleem heeft namelijk wel een oplossing).

Ik snap het echt niet. Ik vertrek van deze bewegingsvgl.

$-C_{rol}mgv - \frac{\rho S C_Lv^3}{2}- \frac{mgv\frac{dh}{dx}}{\sqrt{1+\left(\frac{dh}{dx}\right)^2}} + P_{fietser} = mv\frac{dv}{dt}$

Hier kan toch niet veel mis met zijn?
Dit leidt automatisch tot v in de noemer en een probleem om de vergelijking op te lossen vanuit stilstand v=0.

Heb je enig idee waarom Wolfram komt tot een complexe oplossing in het geval van een constante helling?

p.s. Als ik kijk naar mijn resultaten in Matlab, zijn die heel realistisch als ik kijk naar snelheid en vermogen van de fietser.

Bericht door **wnvl** » 25 jun 2012, 14:33

als we rolweerstand, klimweerstand en luchtweerstand laten vallen, geldt

$P_{fietser} = mv\frac{dv}{dt}$
$P_{fietser}dt = mv\frac{dv}{dt}$
$P_{fietser}t = \frac{mv^2}{2}$
en het is opgelost.

Runge Kutta zal in dit geval niet werken, omdat je dan gaat delen door nul doordat je $\frac{dv}{dt}$ isoleert

$\frac{dv}{dt}=\frac{P_{fietser}}{mv}$

Ofwel moeten we dus een alternatief zoeken voor Runge Kutta (???) ofwel niet met v weren als variabele maar met bvb de kinetische energie $\frac{mv^2}{2}$ als variabele.

Wiskundeforum

fietser

fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser

Re: fietser