uitwerking vraagstuk

[hbhtieltjes]

vraagstuk hoe bereken ik

a^2+b^3=7148
a^3+b^2=5274

met de computer kwam ik op a=17 en b=19
hoe kan ik dit op papier oplossen ??
graag een uitwerking
vr.gr. hbhtieltjes

[barto]

Wat was de vraag:
Los op in de reële getallen of in de gehele, of natuurlijke?
Want dat maakt veel uit als je oplossingen wil zoeken.

[hbhtieltjes]

Ik weet niet wat de verschillen zijn.
Doe maar de gemakkelijkste (eenvoudigste) oplossing
voor a=17 en b=19.Een vergelijking of zo-iets!!!

[SafeX]

Ik neem hier aan dat gezocht wordt naar positief gehele getallen. Je hebt die getallen al gevonden.
Met de computer zeg je, kan je aangeven hoe?
Waar komt de opgave vandaan? Is dit een misschien een puzzel of ...

[hbhtieltjes]

a^2+b^3=7148
a^3+b^2=5274
uitwerking op computer in basic
for a=1 to 50
for b=1 to 50
if a^2+b^3=7148 and a^3+b^2=5274 then
print a,b
else
end if
next b
next a
Je kan ipv 50 ook 100 of 1000 of 20 nemen de uitkomst blijft a=17 en b=19
Ik kwam dit in een oud tijdschrift tegen en geprobeerd dit op papier op te
lossen maar kwam er niet uit. Met de computer dus wel.Dit was geen prijs vraag!!
Is dit op papier op te lossen? En hoe. vr gr hbh.tieltjes

[wnvl]

Uit de tweede vgl volgt



Dit steken we in de eerste vgl





Kwadrateren



Probleem is m.i. dat je dit soort van vergelijking niet zomaar analytisch met pen en papier oplost.

[hbhtieltjes]

Ik had niet verwacht dat dit zo ingewikkeld zou zijn.
Bedankt voor de moeite en tijd die je er in gestoken hebt.
vr gr.

[arie]

Als je een geheeltallige oplossing zoekt (zie de opmerkingen barto en SafeX hierboven), dan moet dat een deler zijn van de constante term van de 9e-graadsvergelijking in a die wnvl gaf.
Dus a deelt 5274^3 - 7148^2 = 146645616920 = 2^3 * 5 * 11 * 17^2 * 1153237
Dit zijn 4*2*2*3*2 = 96 delers die je moet checken.

Als je op de manier van wnvl niet de b maar de a wegwerkt, kom je uit op
7148^3 - 5274^2 = 365191410716 = 2^2 * 11 * 19^2 * 71 * 323819.
In dit geval hoef je maar 3*2*3*2*2 = 72 delers na te gaan.

PS: als je lui bent kan je natuurlijk ook
(5274-a^3)^3 = (7148-a^2)^2
kopieren naar het invoerveld van WolframAlpha http://www.wolframalpha.com/
Je ziet dan de geheeltallige oplossing, de overige 8 oplossingen van de vergelijking zijn complexe getallen

[barto]

Als je een geheeltallige oplossing zoekt (zie de opmerkingen barto en SafeX hierboven), dan moet dat een deler zijn van de constante term van de 9e-graadsvergelijking...

... én 1+ een deler van de som der cijfers, zijnde de waarde voor a=1 in de veelterm:
5273³-7147²=146562187513= 2^4 * 11 * 151 * 5514833.

mogelijke waarden voor a zijn bv. -11+1=-10, 2²*151+1=605, ...

Samen met "Dus a deelt 5274^3 - 7148^2 = 146645616920 = 2^3 * 5 * 11 * 17^2 * 1153237"
is 17 duidelijk een oplossing: 2^4+1=17.

[hbhtieltjes]

Hartelijk dank voor de knappe en duidelijke uitleg.
Nooit gedacht dat het zo ingewikkeld zou zijn.
Ik ga mijn best doen om het te begrijpen.
Vr. gr.

[David]

Dit zijn 4*2*2*3*2 = 96 delers die je moet checken.

Het kan iets met minder; uit de vergelijkingen volgt dat
(0<) b <= 7148^(1/3) en
(0<) a <= 5274^(1/3)

[SafeX]

De aanpak is mij (ook) te ingewikkeld. Beantwoord de volgende vragen eens:
0. Waarom is b>a?
1. Waarom zijn beide getallen a en b beide of even of oneven?
2. Waarom is b-a=2 en niet groter? (Dit kan je bewijzen!)
3. Waarom moet b<20?
4. Bekijk de paren 2 en 4 en ook 3 en 5 ... , waarom zijn a en b nu oneven.
5. Ga na dat alleen 17 en 19 kunnen voldoen!

Je basic programma is prima!
Waar komt je probleem vandaan, een oud tijdschrift, welk?

En wat is je wiskundige achtergrond?

Opm: De volgorde bij de vragen 2, 3 en 4 ligt niet vast.
Ga ook na waarom je jezelf deze vragen zou kunnen stellen.

[hbhtieltjes]

Dat tijdschrift was wetenschap in beeld.
Het ging over leeftijden van 2 mensen de omschrijving was
zodanig dat er deze formule uit kwam.
Vr. gr.

[SafeX]

Dat tijdschrift was wetenschap in beeld.
Het ging over leeftijden van 2 mensen de omschrijving was
zodanig dat er deze formule uit kwam.
Vr. gr.

Zoiets vermoedde ik al en dus is het meer een puzzel.
Bekijk in dit verband de vragen nog eens ...

[arie]

...
0. Waarom is b>a?
1. Waarom zijn beide getallen a en b beide of even of oneven?
...

Voor de TS

...
2. Waarom is b-a=2 en niet groter? (Dit kan je bewijzen!)
...

Heel mooie waarneming!

Er is gegeven:
a^2+b^3=7148
a^3+b^2=5274
dus (trek deze twee vergelijkingen van elkaar af):
a^2 - a^3 + b^3 - b^2 = 7148 - 5274 = 1874

Stel nu b = a+c:
a^2 - a^3 + (a+c)^3 - (a+c)^2 = 1874
werk de machten uit:
a^2 - a^3 + a^3 + 3a^2c + 3ac^2 + c^3 - a^2 - 2ac - c^2 = 1874
tegengestelde termen vallen tegen elkaar weg:
3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874
dus c is een deler van 1874 = 2 * 937
Omdat het om leeftijden gaat en c even moet zijn, is c = 2.

Hierdoor reduceert
3a^2c + 3ac^2 + c^3 - 2ac - c^2 = 1874
tot
6a^2 + 12a + 8 - 4a - 4 - 1874 = 0
ofwel
6a^2 + 8a - 1870 = 0
ofwel
3a^2 + 4a - 935 = 0
ofwel
(a-17)(3a+55) = 0
waardoor (a is geheel):
a=17
en dus
b = a+c = 17+2 = 19

Eigenschappen 3 t/m 5 hebben we hiermee zelfs niet meer nodig.