Volledige inductie

Michail · Bericht door **Michail** » 26 feb 2007, 22:53

Ik heb problemen met opgaven over volledige inductie. Volgens de theorie moet ik drie regels gebruiken:

1. Laat zien dat S(1) waar is.
2. Veronderstel dat S(k) waar is.
3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is.
Uit deze stappen volgtdat de beweringen waarzijn voor n=1,2,3,...

Een voorbeeld:
$1+2+3+...+n = \frac{1}{2}\cdot n(n+1)$ voor $n\ge1$

1. Laat zien dat S(1) waar is:
$S(1) = \frac{1}{2}\cdot 1(1+1) = 1$ Dus klopt.

2. Veronderstel dat S(k) waar is:
Aanname: $S(k) = \frac{1}{2}\cdot k(k+1) = 1$

3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is:
$1+2+3+...+k + (k+1) = \frac{1}{2}\cdot k(k+1) +(k+1)$
$=\frac{1}{2}(k+1)\cdot (k+2)$
$=\frac{1}{2}(k+1)\cdot ((k+1)+1) = S(k+1)$
Dus het klopt, uit S(k) volgt S(k+1).

Maar nu!:

nb: $3! = 3\cdot 2\cdot 1$ (Dus $4! = 4\cdot 3! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

$1\cdot 1! + 2\cdot 2! + 3\cdot 3! + ... + n\cdot n! = (n+1)!-1$

Bewijs dmv volledige inductie dat deze bewering juist is.

Hoever ik kwam:

1. Laat zien dat S(1) waar is:
$S(1) = n\cdot n! = (n+1)!-1 = 1$ Dus klopt.

2. Veronderstel dat S(k) waar is:
Aanname: $S(k) = (k+1)!-1$

3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is:
$1\cdot 1! + 2\cdot 2! + 3\cdot 3! + ... + k\cdot k! + (k+1)(k+1)! = (k+1)!-1 + (k+1)$

Maar nu snap ik er echt niks meer van

Ik ben niet heel goed in wiskunde, dus ik hoop dat iemand hier het mij een beetje duidelijk uit kan leggen. Op school in zo'n grote collegezaal is niet echt de ruimte voor vragen

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 26 feb 2007, 23:13

Michail schreef:Ik heb problemen met opgaven over volledige inductie. Volgens de theorie moet ik drie regels gebruiken:

1. Laat zien dat S(1) waar is.
2. Veronderstel dat S(k) waar is.
3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is.
Uit deze stappen volgtdat de beweringen waarzijn voor n=1,2,3,...

Een voorbeeld:
$1+2+3+...+n = \frac{1}{2}\cdot n(n+1)$ voor $n\ge1$

1. Laat zien dat S(1) waar is:
$S(1) = \frac{1}{2}\cdot 1(1+1) = 1$ Dus klopt.

2. Veronderstel dat S(k) waar is:
Aanname: $S(k) = \frac{1}{2}\cdot k(k+1) = 1$

3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is:
$1+2+3+...+k + (k+1) = \frac{1}{2}\cdot k(k+1) +(k+1)$
$=\frac{1}{2}(k+1)\cdot (k+2)$
$=\frac{1}{2}(k+1)\cdot ((k+1)+1) = S(k+1)$
Dus het klopt, uit S(k) volgt S(k+1).

Maar nu!:

nb: $3! = 3\cdot 2\cdot 1$ (Dus $4! = 4\cdot 3! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

$1\cdot 1! + 2\cdot 2! + 3\cdot 3! + ... + n\cdot n! = (n+1)!-1$

Bewijs dmv volledige inductie dat deze bewering juist is.

Hoever ik kwam:

1. Laat zien dat S(1) waar is:
$S(1) = n\cdot n! = (n+1)!-1 = 1$ Dus klopt.

2. Veronderstel dat S(k) waar is:
Aanname: $S(k) = (k+1)!-1$

3. Laat hieruit volgen dat S(k+1) waar is:
$1\cdot 1! + 2\cdot 2! + 3\cdot 3! + ... + k\cdot k! + (k+1)(k+1)! = (k+1)!-1 + (k+1)$

Maar nu snap ik er echt niks meer van Ik ben niet heel goed in wiskunde, dus ik hoop dat iemand hier het mij een beetje duidelijk uit kan leggen. Op school in zo'n grote collegezaal is niet echt de ruimte voor vragen

De drie stappen van inductie voor een stelling S:
1) Bewijs dat geldt S(1)
2) Bewijs dat als S(n), dan S(n+1)
3) Omdat (1) en (2), geldt S(n) voor alle natuurlijke n.

Laat ik het bewijs eens langs lopen.

Bewering:
$S(n):\quad 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n! = (n+1)! -1$
Bewijs:
1) $S(1): \quad 1 \cdot 1! \stackrel{?}{=} (1+1)! - 1$ . Deze klopt.
2) Stel $S(n)$ . Dus, $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n! = (n+1)! -1$ . Maar, dan geldt ook $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)!= (n+1)! + (n+1) \cdot (n+1)! - 1$ . Deze uitspraak is weer gelijk aan $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)!= \left((n+1)+1\right) \cdot (n+1)! - 1$ . Uitwerken van het rechterlid geeft $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n \cdot n! + (n+1) \cdot (n+1)!= (n+2)! - 1$ , maar dit is gelijk aan de bewerig $S(n+1)$ .
3) Omdat $S(1)$ , en als $S(n)$ dan ook $S(n+1)$ , geldt $S(n)$ voor alle natuurlijke getallen n.

(Sommige mensen vinden de stap 3 niet echt belangrijk. Maar dat is het wel, het geeft een conclusie duidelijk weer.)

Michail · Bericht door **Michail** » 26 feb 2007, 23:40

Hm, dank je voor je antwoord, maar ik kan nog niet zeggen dat ik het begrijp

Ik zal er morgen nog eens naar kijken, het is ook al laat

Wiskundeforum

Volledige inductie

Volledige inductie

Re: Volledige inductie