Wiskundeforum

Berdar · Bericht door **Berdar** » 06 mei 2007, 15:24

"Beschouw een balk met afmetingen 30x40x50, opgebouwd uit 60 kubussen met afmetingen 10x10x10. Hoeveel van die kubussen worden doorsneden door een ruimtediagonaal van de balk?"

Noot 1: Dit vraagstuk is uit Vlaamse Wiskunde Olympiade.Als dit opgeloosd is zal ik een afgeleide van dit vraagstuk stellen.

Noot 2:Er is het juiste antwoord maar geen oplossingen.Desgewenst kan ik het antwoord doorgeven maar de belangrijkste is de oploosmethode en de gehele oplossing.

QED · Bericht door **QED** » 08 mei 2007, 21:53

Ik weet niet precies wat een ruimtediagonaal is, maar als het bovenaanzicht hiervan gewoon een 2D diagonaal is, dan zijn het er 6.. en aangezien de balk 5 kubussen hoog is, zeg ik 30 kubussen...

Maar ik vermoed dat dit niet goed is

Ben dus wel benieuwd naar het antwoord + uitleg.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 08 mei 2007, 22:15

Ruimtediagonaal is het mogelijk langste diagonaal van de balk.Misschien zijn er degenen die zeker beter dan mij uitleggen

Maar het antwoord is niet juist. Ondertussen bezit een balk drie verschillende diagonalen, twee ervan zijn geen ruimtedigonaal,ze zitten op/in de oppervlakken van de balk.Ruimtediagonaal blijft aan de binnen kant van de balk.Hopelijk heb ik het kunnen uitleggen?!...Misschien kan je nu oplossen....

jogo · Bericht door **jogo** » 09 mei 2007, 02:53

beschouwen we de balk in een x,y,z-assenstelsel met 40 in de x-as, 30 in de y-as en 50 in de z-as
de balk wordt opgebouwd uit kubussen van 10
dan wordt de ruimtediagonaal doorsneden door 4 horizontale vlakken (parralel met het xy-vlak) respektievelijk op z=10,z=20,z=30 en z=40
de ruimtediagonaal wordt bovendien doorsneden door 3 vertikale vlakken (parralel met het yz-vlak) met x=10,met x=20 en met x=30
de ruimtediagonaal wordt ook doorsneden door 2 vertikale vlakken (parralel met het xz-vlak met y=10 en y=20
door de verhouding 3/4/5 van de balk valt geen enkel doorsnijdingspunt samen.
dus wordt de ruimtediagonaal op 4+3+2 =9 punten doorsneden, dit betekend dat hij door 10 kubussen gaat.
Afbeelding

Berdar · Bericht door **Berdar** » 09 mei 2007, 16:29

Proficiaat jogo!
Bedankt voor dat je op een evidente en overtuigende manier ons hebt aangetoond.
Ik heb eerst met vergelijkingen opgeloosd (als jij) en gezien dat het over een einheidsbalk is gegaan.Dit kunnen wij met kgv aantonen.Zonder te berekenen heb ik zo geredeneerd:
Ten einde zal die diagonale lijn
in de richting van x aan 3 kubussen raken
in de richting van y aan 4 kubussen raken
in de richting van z aan 5 kubussen raken
in totaal 3+4+5=12
maar begin- en eindkubussen (waarop het diagonaal begint en eindigt)
worden drie keer gebruikt in mijn rekening(voor x,y en z), dus twee keer meer.12-2=10.Daarmee kunnen wij een vaste patroon vinden voor soortgelijke einheidsbalken: x+y+z-2

Nu tweede vraag in verband hiermee:
Welk resultaat zouden wij verkrijgen als we elke ribbe 2-voud van zijn eerste lengte zouden maken?
en welk resultaat zouden wij verkrijgen met een kubus 50x50x50
(einheidskubussen 10x10x10)

Noot:Wat ik verdedigd heb in bovenstaand uitleg betekent niet dat het 100% juist is.Dus is het alleen mijn stelling.Kan het ondersteund of ontkracht worden.Onder de inspiratie van dit probleem heb ik drie sort problemen bepaald.
-met einheidsbalken
-samengesteldebalken
-kubussen
Elk van deze sorten hebben een vast patroon volgens mij.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 09 mei 2007, 17:31

Als gcd(x,y,z)=d, schaal de kubus, en los het probleem voor het kleine geval op, en vermenigvuldig met d.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 09 mei 2007, 18:00

Sjoerd Job schreef:Als gcd(x,y,z)=d, schaal de kubus, en los het probleem voor het kleine geval op, en vermenigvuldig met d.

Wat bedoel je met gcd(x,y,z)=d? Sory, ik beheers de wiskundige notatie niet zo goed.Kan je me dit uitleggen?

Bericht door **Hugo** » 09 mei 2007, 18:08

greatest common divisor

denk ik

Berdar · Bericht door **Berdar** » 09 mei 2007, 18:34

Hugo schreef:greatest common divisor

denk ik

Bedankt Hugo, ik ken alleen matig Nederlands, geen andere Europese talen.Sommige internationaal gebruikte woorden en technische-wetenschappelike termen soms wel.Maar het is nu begrepen.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 09 mei 2007, 20:14

Grootste gemene deler. Stel a=a'd, b=b'd en c=c'd, met allemaal gehele getallen, en d zo groot mogelijk.Dan noemen we d de grootste gemene deler.

Als hij in een a'xb'xc' balk door n blokjes gaat, gaat hij in een axbxc kubus door dn blokjes.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 09 mei 2007, 20:21

Bedankt Sjoerd Job, het is nu precies begrepen.

jogo · Bericht door **jogo** » 09 mei 2007, 20:58

Berdar schreef: Daarmee kunnen wij een vaste patroon vinden voor soortgelijke einheidsbalken: x+y+z-2

die formule is alleen geldig indien x,y en z niet onderling deelbaar zijn

Berdar · Bericht door **Berdar** » 11 mei 2007, 13:39

Sjoerd Job schreef:Als gcd(x,y,z)=d, schaal de kubus, en los het probleem voor het kleine geval op, en vermenigvuldig met d.

In het algeemen is dit juist. Wat is het klein geval?Hoeveel eenheidskubussen worden aangeraakt? Ik heb eraan twijfel.Denk eens aan het eindpunt van een diagonaal van een eenheidskubus (of beter het kleine geval).Hoeveel eenheidskubussen worden op dat eindpunt verbonden?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 11 mei 2007, 15:01

Als gcd(x,y)=gcd(y,z)=gcd(z,x)=1, dan is de oplossing x+y+z-2
Als x=y, en gcd(x,z)=1 dan is de oplossing <denk ik> x+z-1

Verder heb ik nog geen idee

Berdar · Bericht door **Berdar** » 11 mei 2007, 15:21

Sjoerd Job, als het over een samengestelde kubus uit kleine kubussen gaat zal het ruimte-diagonaal van samengestelde kubus tegelijkertijd een ruimte-diagonaal van alle kleine kubussen zijn die zich in diagonaal-lijn bevinden.Volgens mij, het eindpunt van het diagonaal van één klein kubus raakt er 7 kleine kubussen aan.Het kleine geval is dan 7 -samen met zich 8-

Wiskundeforum

VWO

VWO