Waterhoogte in gedeeltelijk gevulde buis berekenen

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
Michel_Cloud
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 20 dec 2022, 16:37

Waterhoogte in gedeeltelijk gevulde buis berekenen

Bericht door Michel_Cloud » 20 dec 2022, 16:39

Goedemiddag allen,
Ik ben opzoek naar een standaard formule om de waterdiepte in een buis te kunnen berekenen.
Hierbij is de diameter van de buis en de vullingsgraad bekend.
Stel:
een buis met een diameter van 160 mm, met een vullingsgraad van 10%, wat is dan de waterdiepte?

Ik hoop dat iemand mij hiermee kan helpen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3780
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Waterhoogte in gedeeltelijk gevulde buis berekenen

Bericht door arie » 21 dec 2022, 00:10

Voor een buis met straal r=1 en middelpunt de oorsprong kunnen we via integraalrekening de vullingsgraad V(x) afhankelijk van x bepalen:

\(V(x)=\frac{1}{\pi} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x) + \frac{1}{2}\)

waarbij:
hoogte x loopt van -1 tot 1, ofwel -1 ≤ x ≤ 1
V(-1) = 0 (= 0% vulling)
V(1) = 1 (= 100% vulling)
en we de goniometrische functies uitdrukken in radialen (dus niet in graden).

Deze vullingsgraad kunnen we vervolgens omzetten naar een buis met gegeven straal r en waterdiepte h via

\(h = (x+1)\cdot r\)

Voor een gegeven vullingsgraad \(V_G\) willen we nu de waarde x bepalen.
Hiervoor bestaat geen gesloten formule (in de vorm x = ...), we zullen x dus numeriek moeten oplossen.
Veel rekenmachines en computerprogrammas hebben hiervoor een solve-functie.
Heb je niet zoiets, kan het bv. via Wolfram Alpha op het web.


Voorbeeld:

De gegeven vullingsgraad Vg = 10% = 0.1
We moeten oplossen:

\(\frac{1}{\pi} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x) + \frac{1}{2} = 0.1\)

Wolfram Alpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=x* ... B0.5%3D0.1
geeft als antwoord:

\(x = -0.6870488261325...\)

Met diameter d=160 ofwel straal r = d/2 = 80 vinden we vervolgens als waterdiepte h:

\(h = (x+1)\cdot 80 = 25.036093909...\)



Ter controle:

Afbeelding

We willen het oppervlak weten van het cirkelsegment in een cirkel met straal r=80 en hoogte h=25.036... ten opzichte van het oppervlak van de volledige cirkel met straal r=80.
Via meetkunde levert dit (zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment):
(alle goniometrische functies weer uitgedrukt in radialen en niet in graden):

Koorde \(c\; (\text{=lijnstuk AB}) = 2\sqrt{r^2 - (r-h)^2} = 116.2578002073555...\)

Hoek \(\theta = 2\sin^{-1}\left(\frac{c}{2r}\right) = 1.6267533452331...\)

Segmentoppervlak \(A = \frac{r^2}{2}\left(\theta - \sin(\theta)\right) = 2010.619298297...\)

en tenslotte dit oppervlak gedeeld door het oppervlak van de volledige cirkel met straal r=80:

\(\frac{A}{\pi r^2} = 0.1000000000000... = 10\%\)


Bedoel je dit?

Michel_Cloud
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 20 dec 2022, 16:37

Re: Waterhoogte in gedeeltelijk gevulde buis berekenen

Bericht door Michel_Cloud » 21 dec 2022, 10:45

Dank voor de uitgebreide toelichting!
Ik ga kijken of ik deze logica in een Excel-sheet kan krijgen om de nodige berekeningen uit te voeren.
Maar dit zijn zeker de formules waar ik naar opzoek was. Dank daarvoor! :-)

Plaats reactie