Stelling van Moivre

[Marco Craamer]

Hallo allemaal,

Langzamerhand ben ik aan het toewerken naar de stelling van Moivre. Ik heb nog een paar stappen te gaan.

Dit begrijp ik echter niet:



Ik kom uit op:



Terwijl het juiste antwoord



Moet zijn.

Het zit hem in de conversie van de polaire argument/angle: .

Volgens kun je de hoeken bij elkaar optellen bij een wortel/exponent.

Dus:



Waar gaat het bij mij fout?

Alvast bedankt!

[arie]

Volgens kun je de hoeken bij elkaar optellen bij een wortel/exponent.

\({(1 \angle \theta)}^n = 1^n \angle n\theta\)

Voorbeeld:
Als
\(1 \angle \theta = \cos \theta + i \sin \theta\)
dan is
\((1 \angle \theta)^2 = (\cos \theta + i \sin \theta)^2\)
\(= \cos^2 \theta +2 i \sin \theta \cos \theta + i^2 \sin^2 \theta\)
\(= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta +2 i \sin \theta \cos \theta \)
\(= \cos 2\theta + i\sin 2\theta \) (dit weten we vanuit de goniometrie)
\(= 1 \angle 2\theta\)

[Marco Craamer]

Dank je wel!

Ja, dat is inderdaad een duidelijk voorbeeld.

Maar dan de logica erachter. Bijvoorbeeld deze:







Dit wordt dus:



Oftewel:

Met andere woorden, hier wordt wel het argument (90) gedeeld door de macht/exponent (3).

Daarom snap ik niet dat bij bovenstaand voorbeeld met n vermenigvuldigd wordt.

Met een vriendelijke groet,

Marco

[arie]

\(\sqrt[3]{z}=z^{1/3}\neq z^3\)

en

\(\frac{1}{3}\cdot 90^\circ = \frac{90^\circ}{3}\)

[Marco Craamer]

Ja inderdaad, nu zie ik het...

Daar zit mijn denkfout!

Dank je wel!