Wiskundeforum

Beste,

Ik ben bezig met een module discrete wiskunde, onderdeel van een thuisstudie.
Ik ben nu bezig met herschrijvingen.
Gegeven is de volgende tautologie die ik door herschrijving moet aantonen:

¬ ( p ˅ q ) → ¬ p

Om het te kunnen aantonen, is het zoals ik het begrijp zaak om te kunnen aantonen
( ¬p ˅ p ) → TRUE

Volgens de uitwerking is de stap na de implicatie
¬ ( p ˅ q ) → ¬ p
de volgende stap commutativiteit aantonen.
Het boek zegt nu:

( p ˅ q ) → ¬ p (commutativiteit)

Impliceert dit dan voor alle gevallen dat ¬ ( p ˅ q ) commutatief is met ( p ˅ q ) ?

Ik zie dit namelijk niet. Ik heb commutativiteit bestudeerd en voor zover ik het begrijp is het alleen op bepaalde operaties van toepassing (bv vermenigvuldigen en optellen).

Graag hoor ik op welke manier ik het in het vervolg juist doe .

Ken je de waarheidstabellen die je kunt gebruiken om iets te controleren?

Nu heb ik die even gemaakt voor ( p ˅ q ) → ¬ p (commutativiteit), maar ik begrijp niet dat dit in het boek staat, want dit is namelijk niet altijd waar.

Stel p en q zijn beide waar, dan niet p is niet waar. En dus klopt de implicatie niet. Dus dat is een tegenvoorbeeld voor ( p ˅ q ) → ¬ p. Het is dus geen tautologie.

(Wij hebben dit net een paar weken terug bij ons vak Basisconcepten behandeld, met behulp van het boek 'Proofs and fundamentals', van Bloch)

Bedenk dat ¬ ( p ˅ q ) → ¬ p volgens de wet van de contrapositie gelijkwaardig is met p→p˅q. Kijk eens of het je lukt om dit laatste aan te tonen.

Bedankt voor je antwoord.
Ik had nog niet goed gekeken naar waarheidstabellen (ik had eerder inmiddels wel al het boek uitgelezen en een ander boek wat ook over discrete wiskunde gaat)

Als ik de waarheidstabel invul voor de oorspronkelijke stelling, klopt hij.
Ik vraag me alleen af waar ik moet beginnen met herschrijven, doel is om aan te tonen dat de implicatie altijd waar is.

Het boek gaat daar totaal niet op in, volgens de meeste online bronnen begin ik bij het omzetten van de implicatie naar een ˅ zodat van daaruit het makkelijker wordt om de implicatie te bewijzen.

@Arno
Het boek heeft het over commutativiteit, associativiteit, distributiviteit, implicatie, idempotentie, dubbele ontkenning, De Morgan, simplificatie en absorptie.
Contrapositie wordt niet vermeld, al snap ik dat het de opgave kan verklaren.

Het boek verklaart een eerdere opgave

( p ˄ q ) → p
als volgt:

( p ˄ q ) → p {implicatie}
¬ ( p ˄ q ) ˅ p {De Morgan}
( ¬ p ˅ ¬ q ) ˅ p {associativiteit}
( ¬ p ˅ p ) ˅ ¬ q {false true regels}
true


Ik kom dan op de volgende berekening voor de opgave waarvan ik dus vermoed dat het antwoord bij de lesstof fout is

¬ ( p ˅ q ) → ¬ p
¬¬ ( p ˅ q ) ˅ ¬ p
( p ˅ q ) ˅ ¬ p
( p ˅ ¬ p ) ˅ q
true


Kan iemand me vertellen of ik het zo goed doe?