Wiskundeforum

Goedenmiddag.

Ik hoop van harte dat iemand mij kan helpen met de volgende opgave:

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}$

Ik heb geprobeerd de som in de Equation Editor toe te voegen, alleen hij wordt niet gekopieerd hier naar toe.. Doe ik iets verkeerd??

Anyway, het probleem moet dus omgeschreven worden naar een State Space Equation.. Ik heb alleen geen idee hoe dit te benaderen.. Het antwoord is bekend, alleen hier kan ik ook niets uit herleiden..

Ps. Dat dacht ik al. Het wordt niet goed weergeven, hier de code van vergelijking en een hopelijk ook duidelijke omschrijving van de formule:

Code: Selecteer alles

|a b||x''|  +  |d e||x'|  +  |g h||x|  =  |u1|        ,    y = |x'|
|b c||z''|     |f 0||z'|     |0 i||z|     |u2|                 |z'|

Code: Selecteer alles

\begin{bmatrix}
a & b\\ 
b & c
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\ddot{x}\\ 
\ddot{z}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
d & e\\ 
f & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\dot{x}\\ 
\dot{z}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
g & h\\ 
0 & i
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ 
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}
,
y=\begin{bmatrix}
\dot{x}\\ 
\dot{z}
\end{bmatrix}

Ik heb je post bewerkt, alle LaTeX is nu achter elkaar in plaats van gesplitst in regels.

Niemand een idee? Het antwoord schijnt dit te zijn:

$-\frac{1}{ac-b^2}\left (\begin{bmatrix}cd-bf&ce\\-bd+af&-be\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{z}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}cg & ch-bi\\ -bg & -bh+ai\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\z\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}cu_{1}-bu_{2}\\-bu_{1}+au_{2}\end{bmatrix}\right )$

Wat te herleiden is tot:

$\ddot{x}=-\frac{1}{ac-b^{2}}\left(cd-bf)\dot{x}+ce\dot{z}+cgx+(ch-bi)z-cu_{1}+bu_{2}\right)$
$\ddot{z}=-\frac{1}{ac-b^{2}}\left(-bd+af)\dot{x}+be\dot{z}+bgx+(-bh+ai)z+bu_{1}-au_{2}\right)$

Alle hulp is welkom.. De vraag is dus om de tweede orde ODE om te schrijven naar zijn State Space vorm..

We hebben:

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

Breng alle termen behalve die met de 2e afgeleide erin naar rechts:

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;-\;\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

Bepaal de inverse van matrix [a b; b c]:
(zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Inverse_ma ... inverteren )

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}^{-1} \;=\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}$

Linksvermenigvuldig je ODE met deze inverse:

$\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;-\;\frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;+\;\frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

ofwel:

$\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \left( \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;+\; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;-\;\begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}\right)$

Werk tenslotte de matrix-producten en de matrix-vector-producten uit om op je vergelijkingen uit te komen.

arie schreef:We hebben:

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

Breng alle termen behalve die met de 2e afgeleide erin naar rechts:

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;-\;\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;+\;\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

Bepaal de inverse van matrix [a b; b c]:
(zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Inverse_ma ... inverteren )

$\begin{bmatrix}a & b\\ b & c\end{bmatrix}^{-1} \;=\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}$

Linksvermenigvuldig je ODE met deze inverse:

$\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;-\;\frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;+\;\frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}$

ofwel:

$\begin{bmatrix}\ddot{x}\\ \ddot{z}\end{bmatrix} \;=\; -\; \frac{1}{ac-b^2}\;\cdot \; \left( \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d & e\\ f & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{z}\end{bmatrix}\;+\; \begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}g & h\\ 0 & i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix}\;-\;\begin{bmatrix}c & -b\\ -b & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}\\ u_{2}\end{bmatrix}\right)$

Werk tenslotte de matrix-producten en de matrix-vector-producten uit om op je vergelijkingen uit te komen.

Hmmm, dat was eigenlijk eenvoudiger dan gedacht

Bedankt voor je hulp!

Wiskundeforum

Tweede orde ODE naar State Space

Tweede orde ODE naar State Space

Re: Tweede orde ODE naar State Space

Re: Tweede orde ODE naar State Space

Re: Tweede orde ODE naar State Space

Re: Tweede orde ODE naar State Space