Sobolev space

[Roy8888]

Hallo,
Onderstaande vergelijking is de oplossing van een heat equation op het domein 0,L (L de lengte van de buis).



Aan mij de vraag om de minimale a (met a een positieve constante) te bepalen waarvoor deze oplossing nog een element is in (sobolev space). Ik weet dat het volgende dan moet gelden:



Uitwerken van de termen in de integraal geeft:





Het uitwerken van de integraal geeft dan:







Om aan bovenstaande te voldoen mag geen van de termen naar oneindig gaan, dus geen van de noemers mag gelijk zijn aan 0. Dat geeft dus:



Volgens mij klopt de berekening, maar ik twijfel nog omdat er in de vraag staat dat de minimale waarde van a bepaald moet worden. Terwijl volgens mijn berekening er geen echte minimale waarde is voor a, alleen mag a niet gelijk zijn aan een aantal waarden.

[arno]

Er moet gelden dat 2a+1>0 en a+1>0 en 2a-1>0, dus a>-½ en a>-1 en a>½, dus als uiteindelijke voorwaarde geeft dit a>½.

[Roy8888]

Waarom moeten de noemers > 0? Ik zou denken dat ze ongelijk aan 0 moeten zijn, volgens die redenatie zou voor a = 1/4 de oplossing dus ook nog een element uit de Sobolev space zijn.

[arno]

Waarom moeten de noemers > 0? Ik zou denken dat ze ongelijk aan 0 moeten zijn, volgens die redenatie zou voor a = 1/4 de oplossing dus ook nog een element uit de Sobolev space zijn.

Als de noemers niet gelijk aan 0 mogen zijn betekent dat in ieder geval dat a niet gelijk is aan ½, dus uit de voorwaarde dat a positief is volgt dan dat 0<a<½ of a>½, dus a = ¼ is dan inderdaad een mogelijke waarde. Kun je misschien aangeven wat de fysische betekenis van a is? Je geeft namelijk wel de fysische betekenis van L, maar niet die van a, dus voor mij is het niet echt duidelijk waar de oplossing voor de warmtevergelijking die jij geeft precies vandaan komt.

[Roy8888]

Dit probleem komt uit een opgave voor een vak 'advanced discretization techniques'. Het gaat er bij deze opdracht eigenlijk om om een beetje bekend te raken met spaces, en de wiskundige notaties die vaak voor eindige elementen problemen gebruikt worden.

Er is alleen gegeven dat die 'a' een constante is. Omdat het een exponent is neem ik aan dat het dimensieloos is en het dus ook niet echt een fysische betekenis heeft. De oplossing die ze geven wordt alleen bij verteld dat die aangenomen moet worden als oplossing.

[Roy8888]

Want als je puur kijkt naar de norm zelf, dan is die ook gedefinieerd voor negatieve breuken lijkt mij?