logica verzamelingen

[yh1987]

Hoi,


Wellicht kan ik van jullie wat hulp krijgen voor deze vereenvoudiging.

http://i64.tinypic.com/t00w9c.png

Mijn docente geeft aan op de derde regel dat de roze onderstreepte vereniging een doorsnede moet worden. Nu snap ik dus niet waarom omdat dit niet plaatsvindt bij commutativiteit. Misschien kan ik hulp krijgen van jullie voor de uitwerking van deze formule.

Alvast bedankt

[arie]

Het gaat mis bij De Morgan:

\(((B \cap A^c) \cup B^c)^c\)

geeft eerst:

\(= (B \cap A^c)^c \cap B^{cc}\)

\(= (B \cap A^c)^c \cap B\)

en dan moeten we nogmaals De Morgan toepassen:

\(= (B^c \cup A^{cc}) \cap B\)

\(= (B^c \cup A) \cap B\)

\(= (B^c \cap B) \cup (A \cap B)\)

\(= (A \cap B)\)


Is dit wat je bedoelt?


PS: ik heb in je post de bijbehorende IMG link geplaatst, zodat het plaatje direct zichtbaar is.

[yh1987]

Bedankt voor de uitwerking.

ik denk het wel als ik nu de hele formule vereenvoudig kom ik uit op

\(=\emptyset\cup\emptyset\cap\emptyset\)
\(=\emptyset\)

Ik hoop dat ik het nu goed heb gedaan.

Die tweede Morgan had ik inderdaad niet gezien.

[arie]

Klopt.

Als we het resultaat aanvullen met de rest van de oorspronkelijke uitdrukking, dan krijgen we (heel uitgebreid opgeschreven):
\((A \cap B) \cap (A \cup B)^c\)
\(= (A \cap B) \cap (A^c \cap B^c)\)
\(= A \cap (B \cap (A^c \cap B^c))\)
\(= A \cap ((B \cap A^c) \cap B^c)\)
\(= A \cap ((A^c \cap B) \cap B^c)\)
\(= (A \cap (A^c \cap B)) \cap B^c\)
\(= ((A \cap A^c) \cap B) \cap B^c\)
\(= (A \cap A^c) \cap (B \cap B^c)\)
\(= \emptyset \cap \emptyset\)
\(= \emptyset\)

[yh1987]

Heel erg bedankt voor de hulp. Nu is alles duidelijk.