Oefening berekening investering

[koçero]

Hallo, ik had graag wat meer uitleg gehad bij de uitwerking van volgende vraag:

Opdracht: Je bent 65 jaar oud en hebt eindelijk zicht op je pensioen. Je vraagt je af of het een goede idee is om een lijfrente te kopen. De verzekeraar vraagt om nu 10000 euro te betalen, om in ruil elk jaar 1000 euro te krijgen tot aan je dood. De intrestvoet van een investering op de markt is 8 percent, vanaf welke levensverwachting is het kopen van de lijfrente rendabel?

Oplossing:

\(PV=\frac{1000}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^2}+...+\frac{1000}{(1+r)^N}=\frac{1000}{1+r}\left(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{1-\frac{1}{1+r}}\right)=\frac{1000}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^N}\right) \)

Welke stappen gebeuren er hierboven om tot de de rechterdelen te komen?

Je zal dus een lijfrente kopen als de interne rentevoet hoger is dan 8 percent, m.a.w. als

\(-10000+\frac{1000}{0,08}\left(1-\frac{1}{(1+0,08)^N}\right) >0 \)

De bewerking hier snap ik.

\(\left(1-\frac{1}{(1+0,08)^N}\right) > 0,8 \)

Aan beide zijden +1 hier? Waarom verandert het teken > in <?

\(\frac{1}{(1+0,08)^N}<0,2 \)

Beide zijden delen door 1? Ook hier verandert het teken weer?

\((1+0,08)^N > 5 \)

Welke rekenregel wordt toegepast om tot N naar voor te halen?

\( N>\frac{ln5}{ln1,08}=20,91 \)

[arie]

\(PV=\frac{1000}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^2}+...+\frac{1000}{(1+r)^N}=\frac{1000}{1+r}\left(\frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{1-\frac{1}{1+r}}\right)=\frac{1000}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^N}\right) \)

Welke stappen gebeuren er hierboven om tot de de rechterdelen te komen?

\(PV=\frac{1000}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^2}+...+\frac{1000}{(1+r)^N}\)

\(PV=1000\cdot \left(\frac{1}{(1+r)^1}+\frac{1}{(1+r)^2}+...+\frac{1}{(1+r)^N}\right)\)

\(PV=\frac{1000}{1+r}\cdot \left(\frac{1}{(1+r)^0}+\frac{1}{(1+r)^1}+...+\frac{1}{(1+r)^{(N-1)}}\right)\)

\(PV=\frac{1000}{1+r}\cdot \left(\left(\frac{1}{1+r}\right)^0+\left(\frac{1}{1+r}\right)^1+...+\left(\frac{1}{1+r}\right)^{(N-1)}\right)\)

gebruik nu de formule voor meetkundige reeksen:
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Meetkundige_reeks)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a\cdot x^k = a\cdot \frac{1-x^n}{1-x}\)

wij hadden de factor a al buiten de reeks gebracht,
bij ons is n = N en \(x = \frac{1}{1+r}\), dus:

\(PV=\frac{1000}{1+r}\cdot \left( \frac{1-x^N}{1-x} \right)\)

\(PV=\frac{1000}{1+r}\cdot \left( \frac{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^N}{1-\frac{1}{1+r}} \right)\)

\(PV=\frac{1000}{1+r}\cdot \left( \frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{1-\frac{1}{1+r}} \right)\)

(nu hebben we de eerste gelijkheid)

\(PV=1000\cdot \left( \frac{1}{1+r} \cdot \frac{1-\frac{1}{(1+r)^N}}{1-\frac{1}{1+r}} \right)\)

\(PV=1000\cdot \left(\frac{1 \cdot \left( 1-\frac{1}{(1+r)^N}\right)}{(1+r)\cdot \left(1-\frac{1}{1+r}\right)} \right)\)

\(PV=1000\cdot \left(\frac{ 1-\frac{1}{(1+r)^N}}{ (1+r)-1} \right)\)

\(PV=1000\cdot \left(\frac{ 1-\frac{1}{(1+r)^N}}{r} \right)\)

\(PV=\frac{1000}{r}\cdot \left( 1-\frac{1}{(1+r)^N}\right)\)

en dit is de tweede gelijkheid.

Je zal dus een lijfrente kopen als de interne rentevoet hoger is dan 8 percent, m.a.w. als

\(-10000+\frac{1000}{0,08}\left(1-\frac{1}{(1+0,08)^N}\right) >0 \)

De bewerking hier snap ik.

\(\left(1-\frac{1}{(1+0,08)^N}\right) > 0,8 \)

Aan beide zijden +1 hier? Waarom verandert het teken > in <?

\(\frac{1}{(1+0,08)^N}<0,2 \)

\(1-\frac{1}{(1+0.08)^N} > 0.8 \)

trek aan beide kanten 1 af:

\(-\frac{1}{(1+0.08)^N} > -0.2 \)

vermenigvuldig dan met -1
Bij vermenigvuldigen met -1 (en algemener: met een negatief getal) klapt het teken om: als a > b dan is -a < -b
voorbeeld: 10 > 1, maar -10 < -1:

\(\frac{1}{(1+0.08)^N} < 0.2 \)

\(\frac{1}{(1+0,08)^N}<0,2 \)

Beide zijden delen door 1? Ook hier verandert het teken weer?

\((1+0,08)^N > 5 \)

Niet delen door één: \(\frac{x}{1}\) maar de omgekeerde (= reciproke) nemen: \(\frac{1}{x}\)
Ook hierbij klapt het teken om: als a > b dan is \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)
voorbeeld: 10 > 1, maar \(\frac{1}{10} < \frac{1}{1}\)

\((1+0,08)^N > 5 \)

Welke rekenregel wordt toegepast om tot N naar voor te halen?

\( N>\frac{ln5}{ln1,08}=20,91 \)

Aan beide kanten wordt de natuurlijke logaritme genomen, zie bijvoorbeeld
https://nl.wikipedia.org/wiki/Logaritme#Definitie
Op je rekenmachine zitten doorgaans de natuurlijke logaritme ([ln]-toets, met grondtal e = 2.718...) en de logaritme met grondtal 10 ([log]-toets).
Beide kan je hier gebruiken:
als a > b, dan is ln(a) > ln(b), en ook log(a) > log(b).

Dus als

\((1+0,08)^N > 5 \)

ofwel

\(1.08^N > 5 \)

dan is

\(\ln\left(1.08^N\right) > \ln(5) \)

Gebruik nu de regel \(\ln(x^n) = n\cdot \ln(x)\):
(zie bijvoorbeeld regel (8) op deze pagina: https://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html)

\(N \cdot \ln(1.08) > \ln(5) \)

deel links en rechts door ln(1.08): een getal groter dan nul, dus het teken klapt niet om:

\(N > \frac{\ln(5)}{\ln(1.08)} \approx 20.91\)

[koçero]

Heel erg bedankt arie! Het is me volledig duidelijk nu.