M.b.v. de afgeleide en gebruik van de kettingregel krijgen we:
\(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \cos(8\pi t^3)}{dt} = -\sin(8\pi t^3) \cdot 24\pi t^2\)
\(v_y(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \sin(8\pi t^3)}{dt} = \cos(8\pi t^3) \cdot 24\pi t^2\)
\(v_z(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d t^3}{dt} = 3 t^2\)
en
\(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 +v_y(t)^2 +v_z(t)^2 }\)
\(= \sqrt{\sin^2(8\pi t^3) \cdot (-24\pi t^2)^2 + \cos^2(8\pi t^3) \cdot (24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)
\(= \sqrt{\left[\sin^2(8\pi t^3) + \cos^2(8\pi t^3) \right]\cdot (24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)
gebruik nu:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):
\(= \sqrt{(24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)
\(= \left( \sqrt{(24\pi)^2 + 3^2} \right)\cdot t^2\)
\(= \sqrt{576\pi ^2 + 9} \cdot t^2\)
\(\approx 75.457883 \cdot t^2\)
En dat geeft deze parabool van v(t) als functie van tijd t:
Op tijd t=0 is de snelheid v(0) = 0.
De bewegende punt op de curve komt dus tot stilstand, en gaat dan direct daarna weer verder:
alleen op tijdstip t=0 is de snelheid nul.
De versnelling a is de afgeleide van v naar t, voor t<0 is deze negatief, dus wordt er geremd,
voor t>0 is deze positief, dus wordt er versneld.
Als de punt een massa m zou hebben, dan betekent dit dat er een kracht F=m*a op zou werken.
Dat is vergelijkbaar met een auto die eerst afremt en volledig tot stilstand komt, en direct daarna weer optrekt.
Als we
\(t^3\) vervangen door t, dan krijgen we:
\(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \cos(8\pi t)}{dt} = -\sin(8\pi t) \cdot 8\pi \)
\(v_y(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \sin(8\pi t)}{dt} = \cos(8\pi t) \cdot 8\pi \)
\(v_z(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d t}{dt} = 1\)
en wordt
\(v(t) = \sqrt{64 \pi^2 + 1} \approx 25.1526277\)
Dit is dus een constante snelheid, onafhankelijk van t.
