Snap een bewijsvoering niet

[Schieper]

Beste wiskundigen,

In een boek dat ik lees staat onderstaande bewijsvoering en die snap ik niet:

Bewijs dat:

n≥1 ,2^n ≥ 1+n.

en dat staat er het volgende bewijs:

neem aan dat 2^k ≥ 1+k for some k≥1, then it follows that
2^k+1 = 2^k*2≥(1+k)*2=2+2K>1+(k+1). Thus the inequality is true by induction..

waar komt die (1+k)*2 vandaan?
en waarom is het ≥ vervangen door >?

Ik kan er geen chocolade van maken

[arie]

Basis:
Voor k = 1 geldt \(2^k \ge 1 + k\): invullen levert: \(2 \ge 1 + 1\)

Inductie
We nemen aan (inductie-hypothese) dat voor \(k \ge 1\) geldt:
\(2^k \ge 1 + k\)
en we willen bewijzen dat dit dan ook geldt voor k+1:
\(2^{k+1} \ge 1 + (k+1)\)

Bewijs:
\(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k\)
volgens de inductiehypothese is \(2^k \ge (1 + k)\), dus dit levert de volgende stap:
\(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k\ge 2 \cdot (1+k)\)
het laatste deel werken we verder uit:
\(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k\ge 2 \cdot (1+k) = 2+2k = 1 + (k+1) + k\)
en omdat \(k \ge 1\):
\(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k\ge 2 \cdot (1+k) = 2+2k = 1 + (k+1) + k > 1 + (k+1)\)

Het laatste "groter dan"-teken hebben we niet eens nodig:
we moesten bewijzen dat uit de inductie hypothese volgt dat
\(2^{k+1} \ge 1 + (k+1)\),
Maar als voor \(k \ge 1\) geldt:
\(2^{k+1} > 1 + (k+1)\),
dan geldt voor \(k \ge 1\) zeker ook:
\(2^{k+1} \ge 1 + (k+1)\)

En daarmee is het bewijs voltooid.

Wordt het hiermee wat duidelijker?

[Schieper]

Bedankt Arie. Langsaam begint er iet sin te dalen...

Ik zie alleen nog niet wat dit betekend:

en omdat k≥1:
2k+1=2⋅2k≥2⋅(1+k)=2+2k=1+(k+1)+k>1+(k+1)2k+1=2⋅2k≥2⋅(1+k)=2+2k=1+(k+1)+k>1+(k+1)
Dus waarom betekend k≥1:
1+(k+1)+k>1+(k+1)?

[Schieper]

Sorry Arie! Bedankt; ik denk dat ik het begrijp.

Stap 1 is het toetsen van N=1
Stap 2 is n=k
Stap 3 is k+1
Stap 4 is een van de kanten gelijk maken (constante*formule van stap 2)
Stap 5 dan volgt; k+1>k
En als dat klopt dan ben je er...

Ik ga er eens mee oefenen!

en een link die de laatste ... op de i zet.. https://www.youtube.com/watch?v=mx5PFgx1eCI

Nogmaals bedankt Arie