Beste,
In de afbeelding is te zien dat ze de afgeleide van de functie f(x)hebben bepaald, hier ervaar ik geen problemen mee. Het gedeelte waar de afgeleide functie wordt opgelost tot x=.... is voor mij op dit moment een raadsel. Is er iemand die mij kan uitleggen hoe dit in ze werk gaat bij een e^macht?
https://postimg.cc/H8rTQcf4
Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht
Re: Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht
We hebben
\(e^x - 3e^{-3x}=0\)
ontbind dit in factoren = haal \(e^{-3x}\) buiten haakjes:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
(ter controle:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=e^{-3x}\cdot e^{4x} - 3\cdot e^{-3x} = e^{(-3x + 4x)} - 3 e^{-3x} = e^x - 3e^{-3x}\)
dit klopt dus)
Als een product van 2 factoren A * B = 0 is, dan is A = 0 of B = 0 (of beide zijn gelijk aan nul).
Voor onze vergelijking
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
geeft dat:
\(e^{-3x} = 0 \; \vee \; e^{4x} - 3=0\)
Omdat een macht van een positief grondtal altijd groter is dan nul, kan \(e^{-3x}\) nooit gelijk zijn aan nul.
De eerste mogelijkheid geeft dus geen oplossingen.
Dan de tweede mogelijkheid:
\(e^{4x} - 3=0\)
ofwel
\(e^{4x} = 3\)
Neem nu links en rechts de natuurlijke logaritme:
\(\ln(e^{4x}) = \ln(3)\)
ofwel
\(4x = \ln(3)\)
Toelichting: de natuurlijke logaritme van een getal geeft de macht waartoe je e (= 2.718281828...) moet verheffen om dat getal te krijgen. En als dat getal is uitgedrukt als macht van e hebben we dus direct de gezochte macht te pakken.
Vergelijkbaar met deze gelijkheid in grondtal 10:
\(\log(10^2) = 2\)
Tenslotte vinden we (links en rechts delen door 4):
\(x = \frac{\ln(3)}{4}\)
Wordt het hiermee wat duidelijker of heb je meer info nodig?
\(e^x - 3e^{-3x}=0\)
ontbind dit in factoren = haal \(e^{-3x}\) buiten haakjes:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
(ter controle:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=e^{-3x}\cdot e^{4x} - 3\cdot e^{-3x} = e^{(-3x + 4x)} - 3 e^{-3x} = e^x - 3e^{-3x}\)
dit klopt dus)
Als een product van 2 factoren A * B = 0 is, dan is A = 0 of B = 0 (of beide zijn gelijk aan nul).
Voor onze vergelijking
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
geeft dat:
\(e^{-3x} = 0 \; \vee \; e^{4x} - 3=0\)
Omdat een macht van een positief grondtal altijd groter is dan nul, kan \(e^{-3x}\) nooit gelijk zijn aan nul.
De eerste mogelijkheid geeft dus geen oplossingen.
Dan de tweede mogelijkheid:
\(e^{4x} - 3=0\)
ofwel
\(e^{4x} = 3\)
Neem nu links en rechts de natuurlijke logaritme:
\(\ln(e^{4x}) = \ln(3)\)
ofwel
\(4x = \ln(3)\)
Toelichting: de natuurlijke logaritme van een getal geeft de macht waartoe je e (= 2.718281828...) moet verheffen om dat getal te krijgen. En als dat getal is uitgedrukt als macht van e hebben we dus direct de gezochte macht te pakken.
Vergelijkbaar met deze gelijkheid in grondtal 10:
\(\log(10^2) = 2\)
Tenslotte vinden we (links en rechts delen door 4):
\(x = \frac{\ln(3)}{4}\)
Wordt het hiermee wat duidelijker of heb je meer info nodig?
Re: Problemen met het oplossen van een vergelijking met e^macht
Helemaal duidelijk! Heel erg bedankt voor de snelle reactie.