Wiskundeforum

Beste,

In de afbeelding is te zien dat ze de afgeleide van de functie f(x)hebben bepaald, hier ervaar ik geen problemen mee. Het gedeelte waar de afgeleide functie wordt opgelost tot x=.... is voor mij op dit moment een raadsel. Is er iemand die mij kan uitleggen hoe dit in ze werk gaat bij een e^macht?

https://postimg.cc/H8rTQcf4

We hebben
\(e^x - 3e^{-3x}=0\)
ontbind dit in factoren = haal \(e^{-3x}\) buiten haakjes:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
(ter controle:
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=e^{-3x}\cdot e^{4x} - 3\cdot e^{-3x} = e^{(-3x + 4x)} - 3 e^{-3x} = e^x - 3e^{-3x}\)
dit klopt dus)

Als een product van 2 factoren A * B = 0 is, dan is A = 0 of B = 0 (of beide zijn gelijk aan nul).
Voor onze vergelijking
\(e^{-3x}(e^{4x} - 3)=0\)
geeft dat:
\(e^{-3x} = 0 \; \vee \; e^{4x} - 3=0\)

Omdat een macht van een positief grondtal altijd groter is dan nul, kan \(e^{-3x}\) nooit gelijk zijn aan nul.
De eerste mogelijkheid geeft dus geen oplossingen.

Dan de tweede mogelijkheid:
\(e^{4x} - 3=0\)
ofwel
\(e^{4x} = 3\)
Neem nu links en rechts de natuurlijke logaritme:
\(\ln(e^{4x}) = \ln(3)\)
ofwel
\(4x = \ln(3)\)
Toelichting: de natuurlijke logaritme van een getal geeft de macht waartoe je e (= 2.718281828...) moet verheffen om dat getal te krijgen. En als dat getal is uitgedrukt als macht van e hebben we dus direct de gezochte macht te pakken.
Vergelijkbaar met deze gelijkheid in grondtal 10:
\(\log(10^2) = 2\)

Tenslotte vinden we (links en rechts delen door 4):
\(x = \frac{\ln(3)}{4}\)

Wordt het hiermee wat duidelijker of heb je meer info nodig?

Helemaal duidelijk! Heel erg bedankt voor de snelle reactie.