Voor een buis met straal r=1 en middelpunt de oorsprong kunnen we via integraalrekening de vullingsgraad V(x) afhankelijk van x bepalen:
\(V(x)=\frac{1}{\pi} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x) + \frac{1}{2}\)
waarbij:
hoogte x loopt van -1 tot 1, ofwel -1 ≤ x ≤ 1
V(-1) = 0 (= 0% vulling)
V(1) = 1 (= 100% vulling)
en we de goniometrische functies uitdrukken in radialen (dus niet in graden).
Deze vullingsgraad kunnen we vervolgens omzetten naar een buis met gegeven straal r en waterdiepte h via
\(h = (x+1)\cdot r\)
Voor een gegeven vullingsgraad
\(V_G\) willen we nu de waarde x bepalen.
Hiervoor bestaat geen gesloten formule (in de vorm x = ...), we zullen x dus numeriek moeten oplossen.
Veel rekenmachines en computerprogrammas hebben hiervoor een
solve-functie.
Heb je niet zoiets, kan het bv. via Wolfram Alpha op het web.
Voorbeeld:
De gegeven vullingsgraad Vg = 10% = 0.1
We moeten oplossen:
\(\frac{1}{\pi} x \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\pi} \sin^{-1}(x) + \frac{1}{2} = 0.1\)
Wolfram Alpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=x* ... B0.5%3D0.1
geeft als antwoord:
\(x = -0.6870488261325...\)
Met diameter d=160 ofwel straal r = d/2 = 80 vinden we vervolgens als waterdiepte h:
\(h = (x+1)\cdot 80 = 25.036093909...\)
Ter controle:
We willen het oppervlak weten van het cirkelsegment in een cirkel met straal r=80 en hoogte h=25.036... ten opzichte van het oppervlak van de volledige cirkel met straal r=80.
Via meetkunde levert dit (zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment):
(alle goniometrische functies weer uitgedrukt in radialen en niet in graden):
Koorde
\(c\; (\text{=lijnstuk AB}) = 2\sqrt{r^2 - (r-h)^2} = 116.2578002073555...\)
Hoek
\(\theta = 2\sin^{-1}\left(\frac{c}{2r}\right) = 1.6267533452331...\)
Segmentoppervlak
\(A = \frac{r^2}{2}\left(\theta - \sin(\theta)\right) = 2010.619298297...\)
en tenslotte dit oppervlak gedeeld door het oppervlak van de volledige cirkel met straal r=80:
\(\frac{A}{\pi r^2} = 0.1000000000000... = 10\%\)
Bedoel je dit?
