Wiskundeforum

Heeft er iemand enig idee hoe je volgende oefening oplost?

Gegeven twee complexe getallen a en b (vast). Noem Pa, Pb en Pz de beeldpunten van de complexe getallen a, b en z in het complexe getallen vlak. Bepaal het complexe getal f(z) dat correspondeert met het volgende beeldpunt: het resultaat van de spiegeling van Pz tov de rechte door a en b.

stap 1: transleer het vlak zodanig dat a op de oorsprong komt te liggen
stap 2: roteer het vlak zodanig dat a-b op de reele as (= 'x-as') komt te liggen
stap 3: spiegel in de reele as
stap 4: roteer a-b weer terug
stap 5: leg a weer op de oorspronkelijke plek

Vertaal dit naar complex rekenen:
stap 1: wat is het beeld van b en z?
stap 2: waarmee moet je vermenigvuldigen?
stap 3: waarin gaat z = p+q*i over bij spiegeling in de reele as?
etc.

Kom je hiermee verder?

Bedankt voor de uitleg, maar ik heb toch moeite met inzien hoe ik dit naar concreet (abstract) rekenwerk kan vertalen...

Stap 1: de translatie zal geen problemen geven: we moeten \(a\) van elk getal aftrekken:



In deze stap wordt \(z\) dus afgebeeld op \(z-a\)


Stap 2: rotatie over een hoek \(\theta\) betekent elk getal vermenigvuldigen met \(e^{i\theta}\).
In ons geval hebben we: \(arg(b-a) = \varphi\)
en willen we het vlak roteren over \(- arg(b-a)\) zodat de blauwe lijn in het plaatje samenvalt met de reele as.

Hier wordt \(z-a\) dus afgebeeld op \((z-a)\cdot e^{........}\)


Stap 3: spiegelen in de reele as = elk getal wordt afgebeeld op zijn complex geconjugeerde, dus

\((z-a)\cdot e^{........}\) wordt afgebeeld op \(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\)


Stap 4: nu moeten we dit resultaat weer terugdraaien over \(arg(b-a)\):

\(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\) wordt afgebeeld op \(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........}\)


Stap 5: Tenslotte moeten we het vlak weer terugschuiven naar de oorspronkelijke positie: tel er \(a\) bij op:

\(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........}\) wordt afgebeeld op \(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........} + a\)

Kan je deze laatste uitdrukking na invullen ook nog verder vereenvoudigen?


PS:
Er zijn alternatieve manieren om deze vraag op te lossen, het kan zijn dat je boek/cursus/docent een andere weg bewandelt. Indien dit het geval is geef dan iets meer informatie over je voorkennis bij deze opgave.

Hartelijk bedankt voor de opheldering! Dit is de uitwerking en het inzicht dat ik nodig had