Irrationale getallen

Berdar · Bericht door **Berdar** » 06 mei 2007, 15:29

Hoe kunnen we bewijzen dat de irrationale getallen overaftelbaar is?En op hoeveel manieren kunnen we dit bewijzen?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 06 mei 2007, 15:37

Berdar schreef:Hoe kunnen we bewijzen dat de irrationale getallen overaftelbaar is?En op hoeveel kunnen we dit bewijzen?

Probeer aan te tonen dat er een bijectie bestaat tussen de reeele getallen, en de irrationele... Of, dat er geen bijectie is tussen de natuurlijke getallen en de irrationele getallen.

Tip: $\mathbb{Q}$ is aftelbaar. Stel nu dat de irrationele getallen ook aftelbaar zijn. Wat heeft dat te betekenen voor de aftelbaarheid van de reeele getallen?

Bericht door TD » 06 mei 2007, 15:45

Sjoerd Job schreef:Probeer aan te tonen dat er een bijectie bestaat tussen de reeele getallen, en de irrationele...

Die bijectie is niet evident hoor. Veruit het eenvoudigst is aantonen dat Q aftelbaar is en R niet, dan volgt R\Q ook overaftelbaar.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 06 mei 2007, 18:29

Is Q aftelbaar? Ik ben er niet zeker van dat Q aftelbaar is omdat wij tussen twee rationale getallen altijd een derde kunnen vinden.De derde is, zoals bekend, de rekenkundige gemidelde van de andere twee.Stel je het half open interval (0,1] en binnen dit interval twee willekeurige rationale getallen voor.Er is er een bijectie tussen elk element van de natuurlike getallen en de rationale getallen tussen (0,1].Wat begrijpt men onder het begrip van de overaftelbaarheid of aftelbaarheid?Misschien is mijn kennis vals over deze begrippen?!...

In relatie met dit onderwerp wil ik nog iets vragen: Welk sort getal verkrijgen we als we een irrationaal getal met een rationaal getal in rekenkundige bewerkingen brengen?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 06 mei 2007, 21:35

Berdar schreef:Is Q aftelbaar? Ik ben er niet zeker van dat Q aftelbaar is omdat wij tussen twee rationale getallen altijd een derde kunnen vinden.De derde is, zoals bekend, de rekenkundige gemidelde van de andere twee.Stel je het half open interval (0,1] en binnen dit interval twee willekeurige rationale getallen voor.Er is er een bijectie tussen elk element van de natuurlike getallen en de rationale getallen tussen (0,1].Wat begrijpt men onder het begrip van de overaftelbaarheid of aftelbaarheid?Misschien is mijn kennis vals over deze begrippen?!...

In relatie met dit onderwerp wil ik nog iets vragen: Welk sort getal verkrijgen we als we een irrationaal getal met een rationaal getal in rekenkundige bewerkingen brengen?

Q is inderdaad aftelbaar. Wat aftelbaar inhoud, is dat er een bijectieve functie is van N -> Q. Als we Q zien als het kruisproduct van Z x N, met als regel dat (a,b) = (c,d) als ad = bc, zien we dat we in een soort halve spiraal kunnen lopen, en alle elementen langs gaan.
Dus er is een surjectieve functie $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ . Dat is wat het betekent om aftelbaar te zijn. Nu, stel dat er ook zo'n functie $g : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ is.

Kijk nu naar de functie
$h : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto \left\{\begin{array}f(\frac{n}{2}) & n \text{ is even} \\ g(\frac{n-1}{2}) & n \text{ is odd} \end{array} \right.$
Wat voor type functie is dit? Is deze functie injectief? Is deze functie surjectief?

Bericht door TD » 06 mei 2007, 21:47

Berdar schreef:Is Q aftelbaar? Ik ben er niet zeker van dat Q aftelbaar is omdat wij tussen twee rationale getallen altijd een derde kunnen vinden.De derde is, zoals bekend, de rekenkundige gemidelde van de andere twee.

Q is aftelbaar.

Berdar schreef:Wat begrijpt men onder het begrip van de overaftelbaarheid of aftelbaarheid?Misschien is mijn kennis vals over deze begrippen?!...

Aftelbaar betekent dat er een bijectie met (evt een deelverzameling van) N bestaat.

Berdar schreef:In relatie met dit onderwerp wil ik nog iets vragen: Welk sort getal verkrijgen we als we een irrationaal getal met een rationaal getal in rekenkundige bewerkingen brengen?

Voor vermenigvuldigen (of delen) en optellen (of aftrekken) van irrationaal met rationaal, krijg je volgens mij opnieuw irrationaal. Dat geldt niet noodzakelijk voor irrationaal met irrationaal.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 06 mei 2007, 22:03

Juist. Het optellen en vermenigvuldigen van twee irrationale getallen hoeft niet per se irrationaal te zijn, en ook niet per se rationaal.

Voorbeelden
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2 \in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} \times (2-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \not \in \mathbb{Q}$

En dat de som van een rationeel getal, en een irr. getal irrationeel is, is duidelijk te zien. Zij a = m/n rationaal, en b irrationaal. Stel a+b = k/l rationaal, dan is b = a+b-a = k/l -m/n = (kn-ml)/(nl) rationaal

Equivalent met het product, tenzij het rationale getal gelijk staat aan 0.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 06 mei 2007, 23:02

Sjoerd Job schreef:Juist. Het optellen en vermenigvuldigen van twee irrationale getallen hoeft niet per se irrationaal te zijn, en ook niet per se rationaal.

Voorbeelden
$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2 \in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\in \mathbb{Q}$
$\sqrt{2} \times (2-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \not \in \mathbb{Q}$

En dat de som van een rationeel getal, en een irr. getal irrationeel is, is duidelijk te zien. Zij a = m/n rationaal, en b irrationaal. Stel a+b = k/l rationaal, dan is b = a+b-a = k/l -m/n = (kn-ml)/(nl) rationaal

Equivalent met het product, tenzij het rationale getal gelijk staat aan 0.

Van dit gedeelte ben ik overtuigd.

Misschien zal je een beetje domerig vinden maar toch wil ik nog eens uitdrukken dat Q er overaftelbaar uitziet.Want we kunnen alle elementen van N verbinden met elk element van een deelverzameling van Q (bv. (0,1] ) niet alle elementen van Q.

Tweede vraag ivm deze vraag:
R bevat Q en IR .Een ook is R overaftelbaar.IR is overaftelbaar.Q is aftelbaar.
Kunnen wij deze conclusie trekken:
R krijgt haar( of zijn

) eigenschap overaftelbaarheid totaal van IR ?
Het aantal elementen van IR is meer dan het aantal elementen van Q?

Noot: IR = irrationale getallen

Bericht door TD » 06 mei 2007, 23:24

Toch is Q aftelbaar, zie bijvoorbeeld hier.

Wat betreft je tweede vraag: het is maar hoe je het ziet, R is overaftelbaar omdat IR dat is, of omgekeerd. In elk geval, de irrationale getallen zijn inderdaad overaftelbaar terwijl Q 'slechts' aftelbaar is.

Aanvullend op Sjoerd: ook leuk is dat irrationaal tot de macht irrationaal, niet noodzakelijk irrationaal is.

Berdar · Bericht door **Berdar** » 07 mei 2007, 16:00

Jullie hebben gelijk en ik had zeker een grote vergissing over de overaftelbaarheid.Ik heb zoals Aristo geredeneerd ( het gedeelte is kleiner dan het geheel) maar moest als Cantor en Farey redeneren.Thanks.

Bericht door TD » 07 mei 2007, 16:11

Berdar schreef:( het gedeelte is kleiner dan het geheel)

Dat gaat op voor eindige verzamelingen, maar niet meer als het aantal elementen oneindig is. Althans, volgens de manier waarop we de grootte in dat geval kwantificeren. Ook al zit N in Z en Z in Q, ze hebben dezelfde "grootte" (hier: kardinaliteit).

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 07 mei 2007, 22:24

TD schreef:Toch is Q aftelbaar, zie bijvoorbeeld hier.

Wat betreft je tweede vraag: het is maar hoe je het ziet, R is overaftelbaar omdat IR dat is, of omgekeerd. In elk geval, de irrationale getallen zijn inderdaad overaftelbaar terwijl Q 'slechts' aftelbaar is.

Aanvullend op Sjoerd: ook leuk is dat irrationaal tot de macht irrationaal, niet noodzakelijk irrationaal is.

Hrm, best interessant. Als $x := 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ irrationaal is. Dan is $x^\sqrt{2}$ een irr. getal tot een irr. macht, met een rationele uitkomst.

Bericht door TD » 07 mei 2007, 23:19

Maar je weet niet of x irrationaal is.
Denk eens aan x = sqrt(2)^sqrt(2).

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 08 mei 2007, 00:28

TD schreef:Maar je weet niet of x irrationaal is.
Denk eens aan x = sqrt(2)^sqrt(2).

$x := \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ , dan $x^{\sqrt{2}} = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$

Maar wat is x? Is deze waarde werkelijk irr.

Bericht door TD » 08 mei 2007, 00:42

Hoewel je dat hieruit niet kan halen, is er wel mee aangetoond dat irr^irr = rat zeker mogelijk is. Je hebt dus bewezen dat het kan, maar je kan niet zeggen welke het is. Ter info: x zelf is al irrationaal.

Wiskundeforum

Irrationale getallen

Irrationale getallen

Re: Irrationale getallen

Re: Irrationale getallen