inductie opdracht

[aanabel]

Hoi, ik kom niet uit de volgende opgave:

bewijs dat 2^n≤n! voor alle n≥5

kan iemand me hiermee helpen? Hoe kun je dit bewijzen met inductie

[arie]

Basisstap:
Toon aan dat die ongelijkheid geldt voor n=5
(de opgave zegt vanaf n=5, maar ook al voor n=4 geldt dit)

Inductiestap:
Neem aan dat 2^n ≤ n! klopt voor een willekeurige n≥5.
Dan moeten we aantonen dat 2^(n+1) ≤ (n+1)!
Kan je 2^(n+1) herschrijven als
.... * 2^n
Kan je (n+1)! herschrijven als
.... * n!

Kom je nu verder?

[aanabel]

nou, zo ver was ik eigenlijk al. Ik weet niet hoe je vanaf daar verder komt. Dus vanaf 2*2^n≤(n+1)*n! , gegeven 2^n≤n! voor een willekeurige n>5 (omdat je dat hebt aangenomen). Wat is de volgende stap?

[arie]

Dan ben je er eigenlijk al:
je weet volgens de inductiehypothese:
2^n ≤ n!
en je weet ook (want n>=5):
2 ≤ (n+1)
Wat kan je dan zeggen over het product van de 2 linker (= kleinere) getallen ten opzichte van het product van de 2 rechter (=grotere) getallen?
2*2^n ... (n+1)*n!

Als je het iets uitgebreider wilt afleiden:
2*2^n ... (n+1)*2^n
en
(n+1)*2^n ... (n+1)*n!
dus
2*2^n ... (n+1)*2^n ... (n+1)*n!