Een voorwerp heeft op t = 0 een snelheid van 4 m/s en ondergaat gedurende 10 seconden een versnelling.
De versnelling neem tussen t=0 en t=10 lineair af van 5 m/\(s^{2}\) tot 0 m/\(s^{2}\).
Hoeveel meter wordt gedurende deze 10 seconden afgelegd?
Hoe gaat de uitwerking van dit vraagstuk zonder diff/integraal ?
Formules:
x = \(x_0\) + \(v_{0}\) . t + ½ . a . \(t^{2}\) (afstand)
v = \(v_{0}\)+ a . t (snelheid)
\(v^{2}\) = \(v^{2}_{0}\) + 2 . a . (x – \(x_{0}\)) (snelheid)
Uitwerking:
a = - ½ . t + 5
Als ik a invul in v = \(v_{0}\) + a . t , krijg ik v = 4 + (- ½ . t + 5).t = - ½ \(t^{2}\) +5t +4
Maar hier gaat het al mis , want de integraal van a is - ¼\(t^{2}\) +5t +4
Hoe los ik dit op?
Versnelling zonder differentiaal/integraal.
-
- Vast lid
- Berichten: 48
- Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58
Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.
Dit lijkt me zonder differentiaal/integraalrekening niet op te lossen.
Wat er mis gaat met je formules is dat je formules zijn afgeleid voor constante versnelling a.
Maar in dit geval is de versnelling een functie van tijd:
\(a_t=j\cdot t + a_0\)
waarbij constante j = de ruk = jerk = -1/2.
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruk_(natuurkunde)).
Voor snelheid en locatie krijgen we dan:
\(v_t = \frac{1}{2}jt^2 + a_0t + v_0\)
en
\(x_t = \frac{1}{6}jt^3 + \frac{1}{2}a_0t^2 + v_0t + x0\)
Een zelfde soort fout zou optreden als we bij constante versnelling a zouden zeggen:
\(x_t = v\cdot t + x_0\)
en
\(v_t = a\cdot t + v_0\)
dus
\(x_t = (a\cdot t + v_0)\cdot t + x_0 = at^2 + v_0t + x_0\)
Ook hier mogen we de constante snelheid \(v\) niet zonder meer vervangen door variabele snelheid \(v_t\), maar moeten we netjes via de definitie met de differentiaal/integraalrekening werken. Ook de formules die jij gaf (voor \(v_t\) en \(x_t\) bij constante a) zijn hiermee afgeleid.
PS: de \(v_0^2\) in je eerste post heb ik vervangen door \(v_0\)
Wat er mis gaat met je formules is dat je formules zijn afgeleid voor constante versnelling a.
Maar in dit geval is de versnelling een functie van tijd:
\(a_t=j\cdot t + a_0\)
waarbij constante j = de ruk = jerk = -1/2.
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruk_(natuurkunde)).
Voor snelheid en locatie krijgen we dan:
\(v_t = \frac{1}{2}jt^2 + a_0t + v_0\)
en
\(x_t = \frac{1}{6}jt^3 + \frac{1}{2}a_0t^2 + v_0t + x0\)
Een zelfde soort fout zou optreden als we bij constante versnelling a zouden zeggen:
\(x_t = v\cdot t + x_0\)
en
\(v_t = a\cdot t + v_0\)
dus
\(x_t = (a\cdot t + v_0)\cdot t + x_0 = at^2 + v_0t + x_0\)
Ook hier mogen we de constante snelheid \(v\) niet zonder meer vervangen door variabele snelheid \(v_t\), maar moeten we netjes via de definitie met de differentiaal/integraalrekening werken. Ook de formules die jij gaf (voor \(v_t\) en \(x_t\) bij constante a) zijn hiermee afgeleid.
PS: de \(v_0^2\) in je eerste post heb ik vervangen door \(v_0\)
-
- Vast lid
- Berichten: 48
- Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58
Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.
Zelf vermoedde ik al dat het daar iets mee te maken had.
Ik heb het totale interval van 10 seconden opgedeeld in 100 tijdseenheden.
Dus voor ieder tijdsinterval van 0.1 sec de versnelling en snelheid en afstand in een spreadsheet gezet.
Dan met de "klassieke" formules uitgerekend.
Kom dan met een redelijk goede benadering op een afstand van 205,5 meter
De laatste seconde(9-10):
Code: Selecteer alles
t a v s
9 0.500 28.525 176.8
9.1 0.450 28.570 179.6
9.2 0.400 28.610 182.5
9.3 0.350 28.645 185.4
9.4 0.300 28.675 188.2
9.5 0.250 28.700 191.1
9.6 0.200 28.720 194.0
9.7 0.150 28.735 196.8
9.8 0.100 28.745 199.7
9.9 0.050 28.750 202.6
10 0.000 28.750 205.5
Weer een hoop geleerd.
Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.
Analytisch hadden we met de gegeven beginvoorwaarden:
\(v(t) = -\frac{1}{4}t^2 + 5t + 4\)
en
\(x(t) = -\frac{1}{12}t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 4t\)
Dit levert
\(v(10) = 29\)
en
\(x(10) = 206\frac{2}{3}\)
Jij benadert de integralen als een Riemannsom met op hele kleine tijdsintervallen dt = 1/10 een constante versnelling en snelheid.
Als ik in elk tijdsinterval de versnelling en snelheid van het begin van het betreffende interval neem, dan kom ik voor verschillende waarden van dt uit op deze eindwaarden voor x en v:
Je ziet het dan mooi convergeren: voor steeds kleinere tijdsintervallen wordt de benadering steeds beter.
Maar dit is eigenlijk nog geen echt alternatief voor de differentiaal/integraal-rekening uit je beginvraag.
\(v(t) = -\frac{1}{4}t^2 + 5t + 4\)
en
\(x(t) = -\frac{1}{12}t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 4t\)
Dit levert
\(v(10) = 29\)
en
\(x(10) = 206\frac{2}{3}\)
Jij benadert de integralen als een Riemannsom met op hele kleine tijdsintervallen dt = 1/10 een constante versnelling en snelheid.
Als ik in elk tijdsinterval de versnelling en snelheid van het begin van het betreffende interval neem, dan kom ik voor verschillende waarden van dt uit op deze eindwaarden voor x en v:
Code: Selecteer alles
dt=1 x(10)=218.7500 v(10)=31.5000
dt=1/10 x(10)=207.9125 v(10)=29.2500
dt=1/100 x(10)=206.7916 v(10)=29.0250
dt=1/1000 x(10)=206.6792 v(10)=29.0025
dt=1/10000 x(10)=206.6679 v(10)=29.0002
dt=1/100000 x(10)=206.6668 v(10)=29.0000
dt=1/1000000 x(10)=206.6667 v(10)=29.0000
Maar dit is eigenlijk nog geen echt alternatief voor de differentiaal/integraal-rekening uit je beginvraag.
-
- Vast lid
- Berichten: 48
- Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58