Internationale Olympiade vraag (bewijzen)

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
kerem2611
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 24 apr 2021, 10:30

Internationale Olympiade vraag (bewijzen)

Bericht door kerem2611 » 24 apr 2021, 11:00

Hi allemaal, zou iemand me alsjeblieft uit de brand kunnen helpen door deze opgave uit te werken? Ik heb namelijk geen idee hoe ik dit moet aanpakken. (mijn schets: https://www.geogebra.org/classic/abeyyk7p )

De opgave:


Laat ABC een driehoek met drie scherpe hoeken en een niet-gelijkbenige driehoek zijn, waarbij D een willekeurig punt op segment BC is.

Neem E aan de kant AB en neem F aan de kant AC zodat ∠DEB = ∠DFC.

De lijnen DF en DE snijden AB en AC respectievelijk in M en N.

Geef (I1) en (I2) aan als de omgeschreven cirkel van DEM en DFN.

Laat (J1) de cirkel zijn die intern raakt aan (I1) bij D en ook raakt aan AB bij K en laat (J2) de cirkel zijn die intern raakt aan (I2) bij D en ook raakt aan AC bij H.

Geef P aan als het snijpunt van (I1) en (I2) dat verschilt van D en geef ook Q aan als het snijpunt van (J1) en (J2) dat verschilt van D.

a Bewijs dat de punten D, P en Q op één lijn liggen.

De omgeschreven cirkel van driehoek AEF snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek AHK en
snijdt de lijn AQ bij G en L (G en L verschillen van A).

b Bewijs dat de raaklijn aan D van de omgeschreven cirkel van driehoek DQG de
lijn EF snijdt in een bepaald punt dat op de omgeschreven cirkel van driehoek DLG ​​ligt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3589
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Internationale Olympiade vraag (bewijzen)

Bericht door arie » 01 mei 2021, 11:41

kerem2611 schreef:
24 apr 2021, 11:00
a Bewijs dat de punten D, P en Q op één lijn liggen
Afbeelding

Bekijk de driehoeken DEM en DFN (blauw in het plaatje hierboven):
hoek BED = hoek CFD (gegeven)
hoek EDM = hoek FDN (want lijnen MF en EN snijden elkaar in D)
dan is dus ook hoek EMD = hoek FND (de som van de hoeken van een driehoek is 180 graden)
en zijn de driehoeken DEM en DFN gelijkvormig.

Stel driehoek DFN is (los van de spiegeling) een factor k groter dan driehoek DEM.
Dan geldt voor hun omgeschreven cirkels met middelpunten resp. I2 en I1 dus ook:
d(I2, D) = k * d(I1, D)
(de straal van de omgeschreven cirkel van DFN is k keer zo groot als die van DEM).

Nu voegen we cirkels J1 en J2 toe (voor het gemak met gelijknamige middelpunten):

Afbeelding

Omdat cirkel J1 cirkel I1 intern raakt in D, moet middelpunt J1 op de lijn door I1 en D liggen, en evenzo:
omdat cirkel J2 cirkel I2 intern raakt in D, moet middelpunt J2 op de lijn door I2 en D liggen.
En omdat d(J1, K) = d(J1, D)
en d(J2, H) = d(J2, D)
moet wegens de driehoeksgelijkvormigheid d(J2, D) = k * d(J1, D) zijn.

Omdat hoek I1 D I2 = hoek J1 D J2
en d(I2, D) : d(J2, D) = [k * d(I1, D)] : [k * d(J1, D)] = d(I1, D) : d(J1, D)
zijn driehoek I1 D I2 en driehoek J1 D J2 gelijkvormig.
En dit betekent dat lijnstuk I1 I2 parallel loopt aan lijnstuk J1 J2
Tenslotte volgt hier weer uit:
omdat DP loodrecht op I1 I2 staat en door D loopt en
omdat DQ loodrecht op J1 J2 staat en door D loopt,
liggen punten D, P en Q op één lijn.


kerem2611 schreef:
24 apr 2021, 11:00
De omgeschreven cirkel van driehoek AEF snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek AHK en
snijdt de lijn AQ bij G en L (G en L verschillen van A).
Klopt deze opgave?
Als de lijn AQ de omgeschreven cirkel van driehoek AEF snijdt in G en L, dan moet 1 van die twee snijpunten wel gelijk zijn aan punt A...

Plaats reactie