Complexe getallen

[JelleLefevre]

Beste

Ik was bezig met volgende oefening mbt complexe getallen, maar ik stap totaal niet de overgang naar de onbekende a... Kunt u me helpen?

Alvast bedankt!

Het gaat om volgende oefening: vereenvoudig 1 + w^2 + (w^2)^4 + (w^2)^9 + (w^2)^16 + (w^2)^25 + (w^2)^36 en w = exp(i pi/7)

oplossing: stel t = w^2, dan is de uitdrukking gelijk aan 1 + 2(t + t^2 + t^4)

(vanaf hier snap ik het niet meer) = 1 + 2a met a en b oplossingen van de vergelijking a^2 + a + 2 = 0. En dat wordt dan verder uitgewerkt. Maar deze redenering snap ik gewoon niet...

[arie]

\(t = w^2 = \left(e^{i\cdot2\pi}\right)^{1/7}\)
dus
\(t^7 = 1\)

Verder hebben we
\(z = 1 + 2(t+t^2+t^4)\)
waarbij we z willen vereenvoudigen.

Stel
\(a = t+t^2+t^4\)
dan is
\(a^2 = (t)^2+(t^2)^2+(t^4)^2 + 2(t)(t^2) + 2(t)(t^4) + 2(t^2)(t^4)\)
\(=t^2+t^4+t^8+2t^3+2t^5+2t^6\)
(\(t^7=1\) dus \(t^8=t\)):
\(=t+t^2+2t^3+t^4+2t^5+2t^6\)
Tel hier \(a\) bij op:
\(a+a^2=2t+2t^2+2t^3+2t^4+2t^5+2t^6\)
en tel vervolgens 2 op:
\(2+a+a^2=2+2t+2t^2+2t^3+2t^4+2t^5+2t^6\)
ofwel
\(2+a+a^2=2\cdot(t^0+t^1+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)\)

Nu is de laatste term de sommatie van alle complexe zevende-machtswortels van 1, die optellen tot nul, waardoor:
\(2+a+a^2 = 2\cdot 0 = 0\)

En als we \(a\) weten, dan weten we ook \(z\):
\(z = 1 + 2(t+t^2+t^4) = 1 + 2a\)
want we hadden hierboven gedefinieerd:
\(a = t+t^2+t^4\)

[JelleLefevre]

Hartelijk dank!